Номер 7, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Точки K и N – середины сторон соответственно $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$ треугольника $ABC$ (рис. 4.6). Выразите векторы:

а) $\overline{BK}$;

б) $\overline{NC}$;

в) $\overline{KN}$;

г) $\overline{BN}$;

д) $\overline{CB}$ через векторы $\vec{a} = \overline{AK}, \vec{b} = \overline{AN}$.

Рис. 4.6

По условию задачи, K — середина стороны AB, а N — середина стороны AC треугольника ABC. Даны векторы $\vec{a} = \vec{AK}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$.

Исходя из того, что K и N — середины сторон, мы можем выразить векторы сторон треугольника через данные векторы:

$\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AK} = 2\vec{a}$

$\vec{AC} = 2 \cdot \vec{AN} = 2\vec{b}$

Теперь выразим требуемые векторы.

а) $\vec{BK}$
Вектор $\vec{BK}$ направлен из точки B в точку K. Он коллинеарен вектору $\vec{AK}$, но противоположно направлен. Так как K — середина AB, то длина вектора $\vec{BK}$ равна длине вектора $\vec{AK}$.
Следовательно, $\vec{BK} = -\vec{AK}$.
Так как $\vec{AK} = \vec{a}$, то $\vec{BK} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BK} = -\vec{a}$.

б) $\vec{NC}$
Вектор $\vec{NC}$ направлен из точки N в точку C. Так как N — середина AC, то вектор $\vec{NC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AN}$ и равен ему по длине.
Следовательно, $\vec{NC} = \vec{AN}$.
Так как $\vec{AN} = \vec{b}$, то $\vec{NC} = \vec{b}$.
Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$.

в) $\vec{KN}$
Чтобы выразить вектор $\vec{KN}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника): $\vec{KN} = \vec{KA} + \vec{AN}$.
Вектор $\vec{KA}$ противоположен вектору $\vec{AK}$, поэтому $\vec{KA} = -\vec{AK} = -\vec{a}$.
Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{KN} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{KN} = \vec{b} - \vec{a}$.

г) $\vec{BN}$
Выразим вектор $\vec{BN}$ по правилу треугольника: $\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN}$.
Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -2\vec{a}$.
Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{BN} = -2\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - 2\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$.

д) $\vec{CB}$
Выразим вектор $\vec{CB}$ по правилу треугольника: $\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB}$.
Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -2\vec{b}$.
Подставляя известные векторы, получаем: $\vec{CB} = -2\vec{b} + 2\vec{a} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$.
Ответ: $\vec{CB} = 2\vec{a} - 2\vec{b}$.