Номер 6, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке O (рис. 4.3). Найдите такие числа t, s, для которых:

а) $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD}$;

б) $\vec{AD} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AF}$;

в) $\vec{AE} = t \cdot \vec{AD} + s \cdot \vec{BE}$.

Рис. 4.3

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в правильном шестиугольнике ABCDEF с центром в точке O. В правильном шестиугольнике стороны равны, а также равно расстояние от центра до любой вершины. Это приводит к ряду полезных векторных соотношений.

а)

Требуется найти числа $t$ и $s$ для равенства $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD}$.

1. Выразим вектор $\vec{AC}$ по правилу сложения векторов (правило треугольника):$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

2. В правильном шестиугольнике четырехугольник ABCO является ромбом, так как $AB = BC = CO = OA$ (все отрезки равны стороне шестиугольника). Из этого следует, что векторы, лежащие на его параллельных сторонах, равны. В частности, $\vec{BC} = \vec{AO}$.

3. Подставим это соотношение в выражение для $\vec{AC}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AO}$.

4. Диагональ $\vec{AD}$ проходит через центр O, и точка O является её серединой. Следовательно, $\vec{AD} = 2\vec{AO}$, откуда $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

5. Подставим выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AC}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

6. Сравнивая полученное выражение с исходным уравнением $\vec{AC} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD}$, находим коэффициенты $t$ и $s$.

$t = 1$, $s = \frac{1}{2}$.

Ответ: $t=1$, $s=0.5$.

б)

Требуется найти числа $t$ и $s$ для равенства $\vec{AD} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AF}$.

1. Как было установлено в пункте (а), главная диагональ $\vec{AD}$ связана с вектором $\vec{AO}$ соотношением $\vec{AD} = 2\vec{AO}$.

2. Рассмотрим треугольник ABO. По правилу сложения векторов, $\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{BO}$.

3. В правильном шестиугольнике четырехугольник ABОF является параллелограммом (и даже ромбом), поскольку стороны AF и BO параллельны и равны по длине, так же как и стороны AB и FO. Отсюда следует векторное равенство $\vec{AF} = \vec{BO}$.

4. Подставим $\vec{BO} = \vec{AF}$ в выражение для $\vec{AO}$:$\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

5. Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{AD}$:$\vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AB} + \vec{AF}) = 2\vec{AB} + 2\vec{AF}$.

6. Сравнивая полученное выражение с исходным уравнением $\vec{AD} = t \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AF}$, находим коэффициенты $t$ и $s$.

$t = 2$, $s = 2$.

Ответ: $t=2$, $s=2$.

в)

Требуется найти числа $t$ и $s$ для равенства $\vec{AE} = t \cdot \vec{AD} + s \cdot \vec{BE}$.

1. Для решения этой задачи удобно выбрать центр шестиугольника O в качестве начала отсчета. Тогда любой вектор $\vec{XY}$ можно представить как разность $\vec{OY} - \vec{OX}$.

2. Выразим векторы из уравнения через векторы, выходящие из центра O:$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$$\vec{BE} = \vec{OE} - \vec{OB}$

3. В правильном шестиугольнике векторы, проведенные из центра к противоположным вершинам, являются противоположными. То есть:$\vec{OD} = -\vec{OA}$$\vec{OE} = -\vec{OB}$

4. Подставим эти соотношения в выражения для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BE}$:$\vec{AD} = -\vec{OA} - \vec{OA} = -2\vec{OA}$$\vec{BE} = -\vec{OB} - \vec{OB} = -2\vec{OB}$$\vec{AE} = -\vec{OB} - \vec{OA}$

5. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$\vec{AE} = t \cdot \vec{AD} + s \cdot \vec{BE}$$-\vec{OB} - \vec{OA} = t \cdot (-2\vec{OA}) + s \cdot (-2\vec{OB})$$-\vec{OB} - \vec{OA} = -2t\vec{OA} - 2s\vec{OB}$

6. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами:$(2s - 1)\vec{OB} + (2t - 1)\vec{OA} = \vec{0}$

7. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ не коллинеарны (угол между ними $60^\circ$). Линейная комбинация неколлинеарных векторов равна нулевому вектору только в том случае, если все коэффициенты равны нулю.Следовательно:$2s - 1 = 0 \Rightarrow 2s = 1 \Rightarrow s = \frac{1}{2}$$2t - 1 = 0 \Rightarrow 2t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$

Ответ: $t=0.5$, $s=0.5$.