Номер 5, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Выразите векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ через векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Чтобы выразить векторы через базисные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$, необходимо найти их координаты. Координаты вектора определяются смещением его конечной точки относительно начальной вдоль осей, где сторона одной клетки сетки принимается за единицу длины. Вектор $\vec{i}$ соответствует смещению на одну клетку вправо, а вектор $\vec{j}$ — на одну клетку вверх.

$\vec{a}$

Для определения координат вектора $\vec{a}$ посчитаем смещение от его начала до конца. Вектор смещается на 2 клетки вправо (положительное направление оси x) и на 3 клетки вверх (положительное направление оси y). Следовательно, его разложение по базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ имеет вид:

$\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$

Ответ: $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$

$\vec{b}$

Вектор $\vec{b}$ направлен вертикально вниз. Смещение по горизонтали отсутствует, поэтому его первая координата равна 0. Смещение по вертикали составляет 3 клетки вниз, что соответствует направлению, противоположному вектору $\vec{j}$. Таким образом, его вторая координата равна -3.

$\vec{b} = 0\vec{i} - 3\vec{j} = -3\vec{j}$

Ответ: $\vec{b} = -3\vec{j}$

$\vec{c}$

Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Его горизонтальная компонента равна 3, а вертикальная компонента равна 2. Разложение по базисным векторам выглядит следующим образом:

$\vec{c} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$

Ответ: $\vec{c} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$

$\vec{d}$

Вектор $\vec{d}$ смещается на 1 клетку влево и на 1 клетку вверх. Смещение влево соответствует отрицательной координате по горизонтальной оси (-1), а смещение вверх — положительной координате по вертикальной оси (1). Таким образом, получаем:

$\vec{d} = -1\vec{i} + 1\vec{j} = -\vec{i} + \vec{j}$

Ответ: $\vec{d} = -\vec{i} + \vec{j}$