Вопросы, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теоремы о выражении вектора через коллинеарный ему вектор.

2. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1. Сформулируйте теоремы о выражении вектора через коллинеарный ему вектор.

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Связь между коллинеарными векторами устанавливается следующими двумя взаимно обратными теоремами.

Теорема 1 (прямая). Если вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$, то существует единственное число $k$, такое, что выполняется равенство: $ \vec{b} = k \cdot \vec{a} $
При этом число $k$ будет положительным ($k > 0$), если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, и отрицательным ($k < 0$), если они противоположно направлены. Если $\vec{b}$ — нулевой вектор, то $k = 0$. Модуль числа $k$ равен отношению длин векторов: $|k| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.

Теорема 2 (обратная). Если для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $\vec{a} \ne \vec{0}$, существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Эти две теоремы можно объединить в один критерий коллинеарности векторов.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

2. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Разложить вектор по двум другим векторам — значит представить его в виде их линейной комбинации, то есть суммы этих векторов, умноженных на некоторые числовые коэффициенты. Теорема о разложении вектора на плоскости является фундаментальной в векторной алгебре.

Теорема о разложении вектора. Любой вектор на плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов, причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.

Более формально: пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два неколлинеарных вектора. Тогда для любого вектора $\vec{p}$ существует единственная пара чисел $(x, y)$ такая, что: $ \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} $
Числа $x$ и $y$ называются координатами вектора $\vec{p}$ в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$. Единственность означает, что если бы нашлась другая пара чисел $(x_1, y_1)$ такая, что $\vec{p} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$, то necesariamente $x = x_1$ и $y = y_1$.

Ответ: Любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно представить, притом единственным способом, в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два данных неколлинеарных вектора, а $x$ и $y$ — единственные в своем роде числовые коэффициенты (координаты).