Страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теоремы о выражении вектора через коллинеарный ему вектор.

2. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1. Сформулируйте теоремы о выражении вектора через коллинеарный ему вектор.

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Связь между коллинеарными векторами устанавливается следующими двумя взаимно обратными теоремами.

Теорема 1 (прямая). Если вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$, то существует единственное число $k$, такое, что выполняется равенство: $ \vec{b} = k \cdot \vec{a} $
При этом число $k$ будет положительным ($k > 0$), если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, и отрицательным ($k < 0$), если они противоположно направлены. Если $\vec{b}$ — нулевой вектор, то $k = 0$. Модуль числа $k$ равен отношению длин векторов: $|k| = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$.

Теорема 2 (обратная). Если для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $\vec{a} \ne \vec{0}$, существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Эти две теоремы можно объединить в один критерий коллинеарности векторов.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ коллинеарен ненулевому вектору $\vec{a}$ тогда и только тогда, когда существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

2. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Разложить вектор по двум другим векторам — значит представить его в виде их линейной комбинации, то есть суммы этих векторов, умноженных на некоторые числовые коэффициенты. Теорема о разложении вектора на плоскости является фундаментальной в векторной алгебре.

Теорема о разложении вектора. Любой вектор на плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов, причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.

Более формально: пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два неколлинеарных вектора. Тогда для любого вектора $\vec{p}$ существует единственная пара чисел $(x, y)$ такая, что: $ \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} $
Числа $x$ и $y$ называются координатами вектора $\vec{p}$ в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$. Единственность означает, что если бы нашлась другая пара чисел $(x_1, y_1)$ такая, что $\vec{p} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$, то necesariamente $x = x_1$ и $y = y_1$.

Ответ: Любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно представить, притом единственным способом, в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два данных неколлинеарных вектора, а $x$ и $y$ — единственные в своем роде числовые коэффициенты (координаты).

1. Для правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 4.3) найдите такое число t, для которого:

а) $\overline{AD} = t \cdot \overline{BC}$;

б) $\overline{CF} = t \cdot \overline{AB}$;

в) $\overline{DE} = t \cdot \overline{CF}$;

г) $\overline{BE} = t \cdot \overline{DC}$.

Рис. 4.3

Для решения задачи введем два базисных вектора: $\vec{a} = \overline{AB}$ и $\vec{b} = \overline{BC}$. Выразим все необходимые векторы через этот базис, используя свойства правильного шестиугольника $ABCDEF$.

1. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине, а их векторы направлены в противоположные стороны:

• $\overline{DE} = -\overline{AB} = -\vec{a}$
• $\overline{EF} = -\overline{BC} = -\vec{b}$
• $\overline{FA} = -\overline{CD}$

2. Большая диагональ, соединяющая противоположные вершины, параллельна сторонам, с которыми она не имеет общих вершин, и вдвое длиннее их. Например, диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Векторы $\overline{AD}$ и $\overline{BC}$ сонаправлены, поэтому $\overline{AD} = 2\overline{BC} = 2\vec{b}$.

3. Используя правило сложения векторов (правило многоугольника), мы можем найти остальные векторы:

• Вектор $\overline{CD}$: из $\overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD}$ следует $2\vec{b} = \vec{a} + \vec{b} + \overline{CD}$, откуда $\overline{CD} = \vec{b} - \vec{a}$.
• Вектор $\overline{DC} = -\overline{CD} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
• Вектор диагонали $\overline{CF}$: $\overline{CF} = \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EF} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -2\vec{a}$.
• Вектор диагонали $\overline{BE}$: $\overline{BE} = \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} = \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = 2\vec{b} - 2\vec{a}$.

Теперь решим каждую из задач.

а) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{AD} = t \cdot \overline{BC}$.
Подставим векторные выражения, которые мы нашли:
$2\vec{b} = t \cdot \vec{b}$
Из этого равенства следует, что $t = 2$.
Ответ: $t = 2$.

б) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{CF} = t \cdot \overline{AB}$.
Подставим векторные выражения:
$-2\vec{a} = t \cdot \vec{a}$
Из этого равенства следует, что $t = -2$.
Ответ: $t = -2$.

в) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{DE} = t \cdot \overline{CF}$.
Подставим векторные выражения:
$-\vec{a} = t \cdot (-2\vec{a})$
Разделив обе части на $-\vec{a}$ (так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор), получаем:
$1 = t \cdot 2$
Отсюда $t = \frac{1}{2}$.
Ответ: $t = \frac{1}{2}$.

г) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{BE} = t \cdot \overline{DC}$.
Подставим векторные выражения:
$2\vec{b} - 2\vec{a} = t \cdot (\vec{a} - \vec{b})$
Вынесем общий множитель в левой части:
$-2(\vec{a} - \vec{b}) = t \cdot (\vec{a} - \vec{b})$
Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, их разность $\vec{a} - \vec{b}$ не является нулевым вектором. Мы можем разделить обе части равенства на $(\vec{a} - \vec{b})$.
Получаем $t = -2$.
Ответ: $t = -2$.

2. Для параллелограмма ABCD (рис. 4.4) выразите вектор:

а) $\overline{AC}$;

б) $\overline{BD}$ через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$.

Рис. 4.4

а) Чтобы выразить вектор $\overline{AC}$ через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$, можно воспользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов. Согласно этому правилу, вектор диагонали параллелограмма, исходящей из общей вершины двух векторов-сторон, равен их сумме. В параллелограмме $ABCD$ векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ исходят из общей вершины A, а $\overline{AC}$ — это диагональ, исходящая из той же вершины. Следовательно, вектор $\overline{AC}$ является суммой векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$.
Также можно применить правило треугольника для треугольника $ABC$. По этому правилу: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому вектор $\overline{BC}$ равен вектору $\overline{AD}$. Заменив $\overline{BC}$ на $\overline{AD}$, получаем: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$.
Ответ: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$.

б) Чтобы выразить вектор $\overline{BD}$ через векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$, воспользуемся правилом вычитания векторов или правилом треугольника. Рассмотрим треугольник $ABD$. По правилу треугольника, чтобы попасть из точки B в точку D, можно двигаться по векторам $\overline{BA}$ и $\overline{AD}$. Таким образом, $\overline{BD} = \overline{BA} + \overline{AD}$. Вектор $\overline{BA}$ является противоположным вектору $\overline{AB}$, то есть $\overline{BA} = -\overline{AB}$. Подставим это выражение в предыдущее равенство: $\overline{BD} = -\overline{AB} + \overline{AD}$. Для удобства поменяем слагаемые местами: $\overline{BD} = \overline{AD} - \overline{AB}$. Это соответствует правилу вычитания векторов: разность векторов $\overline{AD}$ и $\overline{AB}$ — это вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого вектора ($\overline{AB}$) к концу уменьшаемого ($\overline{AD}$).
Ответ: $\overline{BD} = \overline{AD} - \overline{AB}$.

3. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 4.4). Выразите вектор:

а) $\vec{AO}$;

б) $\vec{BO}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Рис. 4.4

а)

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ и точкой пересечения делятся пополам. Это одно из основных свойств параллелограмма. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Это означает, что вектор $\vec{AO}$ сонаправлен с вектором $\vec{AC}$ и его длина в два раза меньше. Математически это записывается так:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь необходимо выразить вектор диагонали $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, вектор диагонали, исходящей из общей вершины с двумя сторонами, равен сумме векторов этих сторон.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Подставим это выражение в формулу для $\vec{AO}$:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$

Это выражение можно также записать в виде:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$

б)

Аналогично пункту а), точка $O$ является серединой диагонали $BD$.

Следовательно, вектор $\vec{BO}$ равен половине вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD}$

Теперь выразим вектор второй диагонали $\vec{BD}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Для этого воспользуемся правилом треугольника. Чтобы найти вектор $\vec{BD}$, мы можем "пройти" из точки $B$ в точку $D$ через точку $A$. Этот путь состоит из двух векторов: $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$.

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Подставим это в предыдущее равенство:

$\vec{BD} = -\vec{AB} + \vec{AD}$

Для удобства записи поменяем слагаемые местами:

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{BD}$ в формулу для $\vec{BO}$:

$\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$

Раскрыв скобки, получим:

$\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

Ответ: $\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$

4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 4.4). Выразите вектор:

а) $\vec{AB}$;

б) $\vec{AD}$ через векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

Рис. 4.4

а) Чтобы выразить вектор $ \overrightarrow{AB} $, рассмотрим треугольник $AOB$. По правилу вычитания векторов, вектор, соединяющий концы двух векторов, исходящих из одной точки, равен разности этих векторов. В данном случае, $ \overrightarrow{AB} $ соединяет точки $A$ и $B$, а векторы $ \overrightarrow{OA} $ и $ \overrightarrow{OB} $ выходят из точки $O$. Тогда $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} $.
По условию нам даны векторы $ \overrightarrow{AO} $ и $ \overrightarrow{BO} $. Мы знаем, что $ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO} $ и $ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{BO} $.
Подставим эти выражения в полученную формулу:
$ \overrightarrow{AB} = (-\overrightarrow{BO}) - (-\overrightarrow{AO}) = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} $.
Другой способ — по правилу треугольника: $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} $. Так как $ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{BO} $, получаем $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} $.
Ответ: $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} $.

б) Чтобы выразить вектор $ \overrightarrow{AD} $, рассмотрим треугольник $AOD$. По правилу сложения векторов (правило треугольника): $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} $.
В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $O$ является серединой диагонали $BD$. Следовательно, векторы $ \overrightarrow{BO} $ и $ \overrightarrow{OD} $ равны, так как они сонаправлены (оба направлены от края диагонали к ее центру) и имеют одинаковую длину ($BO = OD$). Таким образом, $ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BO} $.
Подставим это в формулу для $ \overrightarrow{AD} $:
$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} $.
Ответ: $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} $.