Страница 31 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Вычислите, какую работу $A$ производит сила $\vec{F}$, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A в положение B (рис. 5.6). Стороны клеток равны 1.

Рис. 5.6

Работа $A$, производимая постоянной силой $\vec{F}$ при прямолинейном перемещении тела из точки А в точку В, вычисляется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{s} = \vec{AB}$. Формула для работы в векторной форме: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$. Для решения задачи введём прямоугольную систему координат, направив её оси вдоль сторон клеток: ось Ox — горизонтально вправо, а ось Oy — вертикально вверх. Согласно условию, сторона каждой клетки равна 1.

Определим по рисунку координаты векторов силы и перемещения. Вектор силы $\vec{F}$ имеет проекции на оси: 3 единицы по оси Ox (смещение вправо на 3 клетки) и 3 единицы по оси Oy (смещение вверх на 3 клетки). Таким образом, координаты вектора силы: $\vec{F} = (3; 3)$.

Вектор перемещения $\vec{s}$ направлен из точки A в точку B. Его проекции на оси: 4 единицы по оси Ox (смещение вправо на 4 клетки) и 0 единиц по оси Oy (вертикального смещения нет). Таким образом, координаты вектора перемещения: $\vec{s} = (4; 0)$.

Скалярное произведение векторов в координатной форме вычисляется по формуле $A = F_x s_x + F_y s_y$, где $(F_x, F_y)$ и $(s_x, s_y)$ — координаты соответствующих векторов. Подставив найденные значения, получим искомую работу:

$A = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 12 + 0 = 12$.

Работа, произведенная силой, равна 12 условным единицам.

Ответ: 12.

14. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим векторы его смежных сторон, выходящих из вершины $A$, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Сумма квадратов длин всех сторон параллелограмма равна:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Теперь выразим векторы диагоналей через векторы сторон $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Диагональ $\vec{d_1}$ совпадает с вектором $\vec{AC}$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма):

$\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Диагональ $\vec{d_2}$ совпадает с вектором $\vec{BD}$. По правилу вычитания векторов:

$\vec{d_2} = \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Найдем сумму квадратов длин диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$d_1^2 + d_2^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2$.

Раскроем скалярные квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности для скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$.

Теперь сложим эти два выражения:

$d_1^2 + d_2^2 = (|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) + (|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2)$.

Члены с скалярным произведением $2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ и $-2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ взаимно уничтожаются:

$d_1^2 + d_2^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Мы получили, что сумма квадратов диагоналей $d_1^2 + d_2^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$ равна сумме квадратов всех сторон $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$, где $a$ и $b$ - длины смежных сторон параллелограмма.

15. Используя векторы, докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть дан ромб $ABCD$. Введем векторы, соответствующие двум смежным сторонам ромба, выходящим из одной вершины, например, из вершины $A$. Обозначим $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Равенство длин смежных сторон в векторной форме означает равенство модулей соответствующих векторов: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно, $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$. Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно найти как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$. Следовательно, $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})$.

Используя свойства скалярного произведения (в частности, его дистрибутивность относительно сложения векторов), раскроем скобки по правилу, аналогичному формуле разности квадратов в алгебре: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), то первые и последние члены взаимно уничтожаются. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$). Таким образом, выражение упрощается: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$.

Как мы установили вначале, для ромба $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, и квадраты их модулей равны: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$. Подставим это в наше выражение для скалярного произведения: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов, представляющих диагонали ромба, равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами диагонали ромба перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов диагоналей ромба $\vec{AC} = \vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{BD} = \vec{b}-\vec{a}$ равно $|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$. Так как в ромбе длины сторон равны ($|\vec{a}|=|\vec{b}|$), это произведение равно нулю, что доказывает перпендикулярность диагоналей.

16. Покинув пункт А, двое путешественников направились дальше разными маршрутами. Один прошел 4 км на юг, затем 5 км на юго-запад и столько же на северо-запад. Другой прошел 5 км на северо-запад, затем 5 км на юго-запад и 4 км на юг. Сравните их перемещения.

Перемещение — это векторная величина, которая характеризует изменение положения тела и представляет собой вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную. Полное перемещение равно векторной сумме перемещений на отдельных участках пути.

В данной задаче оба путешественника совершают три перемещения, которые одинаковы по модулю (длине) и направлению, но следуют в разном порядке.

Обозначим перемещения на каждом из участков как векторы:
$\vec{s_1}$ — перемещение на 4 км на юг.
$\vec{s_2}$ — перемещение на 5 км на юго-запад.
$\vec{s_3}$ — перемещение на 5 км на северо-запад.

Маршрут первого путешественника состоит из последовательных перемещений $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{s_3}$. Его итоговое перемещение $\vec{S}_{1}$ является векторной суммой этих трех перемещений:
$\vec{S}_{1} = \vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3}$

Маршрут второго путешественника состоит из последовательных перемещений $\vec{s_3}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{s_1}$. Его итоговое перемещение $\vec{S}_{2}$ также является векторной суммой:
$\vec{S}_{2} = \vec{s_3} + \vec{s_2} + \vec{s_1}$

Одно из основных свойств сложения векторов — это коммутативность (переместительный закон), который гласит, что результат сложения векторов не зависит от порядка, в котором они складываются.
Следовательно:
$\vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3} = \vec{s_3} + \vec{s_2} + \vec{s_1}$
А значит, итоговые векторы перемещения путешественников равны:
$\vec{S}_{1} = \vec{S}_{2}$

Таким образом, перемещения обоих путешественников полностью совпадают. Они одинаковы как по модулю (величине), так и по направлению. Это означает, что, несмотря на разные маршруты, оба путешественника окажутся в одной и той же конечной точке относительно начального пункта А.

Ответ: Перемещения путешественников одинаковы.

17. Корабль плывет со скоростью 10 км/ч относительно берега.

Пассажир пересекает палубу корабля (поперек) со скоростью 4 км/ч. Чему равна скорость пассажира относительно берега?

17. Для решения этой задачи используется принцип сложения скоростей. Скорость пассажира относительно берега (неподвижной системы отсчета) является векторной суммой скорости корабля относительно берега и скорости самого пассажира относительно корабля (подвижной системы отсчета).
Пусть $\vec{v}_{к}$ — скорость корабля относительно берега, а $\vec{v}_{п}$ — скорость пассажира относительно корабля. Тогда искомая скорость пассажира относительно берега $\vec{v}$ вычисляется как их векторная сумма:
$\vec{v} = \vec{v}_{к} + \vec{v}_{п}$
Из условия задачи нам даны модули этих скоростей: $v_{к} = 10 \text{ км/ч}$ и $v_{п} = 4 \text{ км/ч}$.
Ключевым моментом является то, что пассажир пересекает палубу "поперек". Это означает, что вектор его скорости $\vec{v}_{п}$ перпендикулярен вектору скорости корабля $\vec{v}_{к}$. Следовательно, эти два вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, а результирующий вектор скорости $\vec{v}$ будет его гипотенузой.
Модуль результирующей скорости $v$ можно найти по теореме Пифагора:
$v = \sqrt{v_{к}^2 + v_{п}^2}$
Подставим числовые значения в формулу:
$v = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116}$
Для получения точного ответа упростим корень:
$v = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29} \text{ км/ч}$.
Также можно найти приближенное значение: $v \approx 10,77 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость пассажира относительно берега равна $2\sqrt{29} \text{ км/ч}$ (приблизительно $10,77 \text{ км/ч}$).

18. Два пловца одновременно с одного берега реки (из одной точки) поплыли на другой берег с одинаковыми скоростями. Первый направился прямо к противоположному берегу и был снесён течением на некоторое расстояние. Второй поплыл вверх по течению под некоторым углом и оказался на другом берегу напротив места старта. Кто из них первым достиг противоположного берега?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать движение каждого пловца с точки зрения сложения скоростей. Время, за которое пловец пересекает реку, зависит только от составляющей его скорости, перпендикулярной берегу.

Введем обозначения:
$d$ – ширина реки.
$v_п$ – скорость пловца относительно воды (у обоих она одинакова).
$v_т$ – скорость течения реки.

Первый пловец
Первый пловец направляет свою скорость $v_п$ строго перпендикулярно берегу. Его полная скорость относительно земли является векторной суммой его собственной скорости и скорости течения. Составляющая скорости, направленная на пересечение реки (перпендикулярно берегу), равна его полной скорости относительно воды, то есть $v_п$. Течение сносит его вдоль берега, но не влияет на время пересечения реки.
Время, которое он потратит, чтобы достичь другого берега, равно:
$t_1 = \frac{d}{v_п}$

Второй пловец
Второй пловец должен оказаться на другом берегу строго напротив места старта. Это означает, что его результирующая скорость относительно земли должна быть направлена строго перпендикулярно берегу. Для этого он должен плыть против течения под некоторым углом $\alpha$ к перпендикуляру.
Его скорость относительно воды $v_п$ можно разложить на две составляющие:
1. Составляющая, перпендикулярная берегу: $v_{п \perp} = v_п \cos(\alpha)$. Именно эта составляющая определяет время пересечения реки.
2. Составляющая, параллельная берегу и направленная против течения: $v_{п \parallel} = v_п \sin(\alpha)$. Эта составляющая должна полностью компенсировать скорость течения, то есть $v_п \sin(\alpha) = v_т$.
Время, которое второй пловец потратит, чтобы достичь другого берега, равно:
$t_2 = \frac{d}{v_{п \perp}} = \frac{d}{v_п \cos(\alpha)}$

Сравнение времени
Сравним время первого и второго пловцов:
$t_1 = \frac{d}{v_п}$
$t_2 = \frac{d}{v_п \cos(\alpha)}$
Поскольку второй пловец плывет под углом к перпендикуляру, чтобы компенсировать течение, этот угол $\alpha$ больше нуля. Для любого угла $\alpha > 0$ (но меньше 90°, иначе он не пересечет реку), значение $\cos(\alpha)$ будет строго меньше 1.
Так как $\cos(\alpha) < 1$, знаменатель в выражении для $t_2$ ($v_п \cos(\alpha)$) меньше, чем знаменатель в выражении для $t_1$ ($v_п$). Следовательно, $t_2 > t_1$.
Это означает, что первый пловец затратит меньше времени на пересечение реки.

Ответ: Первый пловец достигнет противоположного берега первым.

19. Чтобы пересечь реку перпендикулярно течению, лодку направ-ляют под углом $55^\circ$ к берегу. Чему равна скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна $12 \text{ км/ч}$?

Для решения данной задачи воспользуемся правилом сложения скоростей. Результирующая скорость лодки относительно берега ($ \vec{v}_{рез} $) равна векторной сумме ее собственной скорости в стоячей воде ($ \vec{v}_{лод} $) и скорости течения реки ($ \vec{v}_{теч} $): $ \vec{v}_{рез} = \vec{v}_{лод} + \vec{v}_{теч} $.
По условию, лодка пересекает реку перпендикулярно течению. Это означает, что вектор результирующей скорости $ \vec{v}_{рез} $ перпендикулярен вектору скорости течения $ \vec{v}_{теч} $.
Из векторного уравнения сложения скоростей следует, что $ \vec{v}_{лод} = \vec{v}_{рез} - \vec{v}_{теч} $. Поскольку векторы $ \vec{v}_{рез} $ и $ \vec{v}_{теч} $ взаимно перпендикулярны, их модули образуют прямоугольный треугольник скоростей. В этом треугольнике собственная скорость лодки $v_{лод}$ является гипотенузой, а скорость течения $v_{теч}$ и результирующая скорость $v_{рез}$ — катетами. Это следует из теоремы Пифагора для модулей векторов: $v_{лод}^2 = v_{рез}^2 + v_{теч}^2$.
Угол, под которым направляют лодку к берегу, $ \alpha = 55^\circ $, — это угол между вектором собственной скорости лодки ($ \vec{v}_{лод} $) и линией берега (которая параллельна вектору течения $ \vec{v}_{теч} $). В нашем прямоугольном треугольнике скоростей это будет острый угол между гипотенузой ($v_{лод}$) и катетом ($v_{теч}$).
Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:
$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{v_{теч}}{v_{лод}} $
Отсюда выражаем искомую скорость течения:
$ v_{теч} = v_{лод} \cdot \cos(\alpha) $
Подставляем данные из условия задачи: $v_{лод} = 12$ км/ч и $ \alpha = 55^\circ $.
$ v_{теч} = 12 \cdot \cos(55^\circ) $
Используя калькулятор, находим значение косинуса: $ \cos(55^\circ) \approx 0.5736 $.
$ v_{теч} \approx 12 \cdot 0.5736 \approx 6.8832 $ км/ч.
Ответ: Скорость течения реки равна $12 \cos(55^\circ) \approx 6.9$ км/ч.

20. Самолет летит со скоростью 1000 км/ч под углом 37° к востоку от направления на север. Найдите составляющие вектора скорости в направлениях на север и восток. На какое расстояние переместится самолет в каждом из этих направлений за 2,5 ч?

Найдите составляющие вектора скорости в направлениях на север и восток.
Обозначим полную скорость самолета как $v = 1000$ км/ч. Угол $\alpha = 37°$ дан как отклонение к востоку от направления на север. Это означает, что если мы представим направления в виде системы координат, где ось OY направлена на север, а ось OX — на восток, то вектор скорости будет образовывать угол $\alpha$ с осью OY.
Составляющая вектора скорости в направлении на север ($v_с$) будет проекцией вектора $v$ на ось OY. Так как это прилежащий катет к углу $\alpha$, мы используем косинус:
$v_с = v \cdot \cos(\alpha)$
Составляющая вектора скорости в направлении на восток ($v_в$) будет проекцией вектора $v$ на ось OX. Так как это противолежащий катет к углу $\alpha$, мы используем синус:
$v_в = v \cdot \sin(\alpha)$
Для угла $37°$ используются стандартные приближенные значения тригонометрических функций: $\cos(37°) \approx 0,8$ и $\sin(37°) \approx 0,6$.
Выполним расчеты:
$v_с = 1000 \text{ км/ч} \cdot \cos(37°) \approx 1000 \cdot 0,8 = 800 \text{ км/ч}$
$v_в = 1000 \text{ км/ч} \cdot \sin(37°) \approx 1000 \cdot 0,6 = 600 \text{ км/ч}$
Ответ: составляющая скорости в направлении на север равна примерно 800 км/ч, а в направлении на восток — 600 км/ч.

На какое расстояние переместится самолет в каждом из этих направлений за 2,5 ч?
Чтобы найти расстояние, перемещенное в каждом направлении, нужно умножить соответствующую составляющую скорости на время полета $t = 2,5$ ч. Обозначим расстояние, пройденное на север, как $S_с$, а на восток — как $S_в$.
Расстояние в северном направлении:
$S_с = v_с \cdot t = 800 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 2000 \text{ км}$
Расстояние в восточном направлении:
$S_в = v_в \cdot t = 600 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 1500 \text{ км}$
Ответ: за 2,5 ч самолет переместится на 2000 км в северном направлении и на 1500 км в восточном направлении.

21. Мальчик тянет тележку под углом $30^\circ$ к горизонту с силой $20\text{ Н}$ (рис. 5.7). Какую работу он совершит, переместив ее на $150\text{ м}$?

Рис. 5.7

Для определения работы, которую совершил мальчик, используется формула механической работы. Работа $A$ вычисляется как произведение модуля силы $F$, модуля перемещения $s$ и косинуса угла $\alpha$ между вектором силы и вектором перемещения:
$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

Из условия задачи известны следующие величины:
- Модуль силы: $F = 20 \text{ Н}$
- Перемещение: $s = 150 \text{ м}$
- Угол между силой и горизонтом (который совпадает с направлением перемещения): $\alpha = 30^\circ$

Подставим данные в формулу. Косинус угла $30^\circ$ является табличным значением и равен $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A = 20 \text{ Н} \cdot 150 \text{ м} \cdot \cos(30^\circ)$

Выполним вычисления:
$A = 20 \cdot 150 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3000}{2} \cdot \sqrt{3} = 1500\sqrt{3} \text{ Дж}$.

Для получения числового значения можно использовать приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$A \approx 1500 \cdot 1,732 = 2598 \text{ Дж}$.

Ответ: совершённая работа равна $1500\sqrt{3} \text{ Дж}$, что приблизительно составляет $2598 \text{ Дж}$ (или $2,598 \text{ кДж}$).

22. Чему равна работа, совершаемая против силы тяжести при подъеме рюкзака массой 10 кг на холм высотой 10 м (рис. 5.8)? Зависит ли работа от крутизны холма?

Рис. 5.8

Чему равна работа, совершаемая против силы тяжести при подъеме рюкзака
Работа, совершаемая против силы тяжести, вычисляется по формуле, связывающей работу с изменением потенциальной энергии тела:
$A = m \cdot g \cdot h$
где:
$m$ — масса рюкзака ($m = 10 \text{ кг}$),
$g$ — ускорение свободного падения (примем стандартное значение $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$),
$h$ — высота подъема ($h = 10 \text{ м}$).
Работа против силы тяжести зависит только от вертикального перемещения (высоты), а не от траектории движения.
Подставим данные значения в формулу:
$A = 10 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 10 \text{ м} = 980 \text{ Дж}$.
Ответ: работа, совершаемая против силы тяжести, равна 980 Дж.

Зависит ли работа от крутизны холма
Нет, работа, совершаемая против силы тяжести, от крутизны холма не зависит. Сила тяжести является консервативной силой, а это означает, что работа против нее определяется только начальным и конечным положением тела (в данном случае — изменением высоты), а не формой пути. Крутизна холма влияет на длину склона $s$ и на величину силы, которую нужно прикладывать параллельно склону для подъема, но итоговая работа против силы тяжести ($mgh$) остается неизменной, так как высота $h$ не меняется.
Ответ: нет, работа от крутизны холма не зависит.