Номер 18, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Два пловца одновременно с одного берега реки (из одной точки) поплыли на другой берег с одинаковыми скоростями. Первый направился прямо к противоположному берегу и был снесён течением на некоторое расстояние. Второй поплыл вверх по течению под некоторым углом и оказался на другом берегу напротив места старта. Кто из них первым достиг противоположного берега?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать движение каждого пловца с точки зрения сложения скоростей. Время, за которое пловец пересекает реку, зависит только от составляющей его скорости, перпендикулярной берегу.

Введем обозначения:
$d$ – ширина реки.
$v_п$ – скорость пловца относительно воды (у обоих она одинакова).
$v_т$ – скорость течения реки.

Первый пловец
Первый пловец направляет свою скорость $v_п$ строго перпендикулярно берегу. Его полная скорость относительно земли является векторной суммой его собственной скорости и скорости течения. Составляющая скорости, направленная на пересечение реки (перпендикулярно берегу), равна его полной скорости относительно воды, то есть $v_п$. Течение сносит его вдоль берега, но не влияет на время пересечения реки.
Время, которое он потратит, чтобы достичь другого берега, равно:
$t_1 = \frac{d}{v_п}$

Второй пловец
Второй пловец должен оказаться на другом берегу строго напротив места старта. Это означает, что его результирующая скорость относительно земли должна быть направлена строго перпендикулярно берегу. Для этого он должен плыть против течения под некоторым углом $\alpha$ к перпендикуляру.
Его скорость относительно воды $v_п$ можно разложить на две составляющие:
1. Составляющая, перпендикулярная берегу: $v_{п \perp} = v_п \cos(\alpha)$. Именно эта составляющая определяет время пересечения реки.
2. Составляющая, параллельная берегу и направленная против течения: $v_{п \parallel} = v_п \sin(\alpha)$. Эта составляющая должна полностью компенсировать скорость течения, то есть $v_п \sin(\alpha) = v_т$.
Время, которое второй пловец потратит, чтобы достичь другого берега, равно:
$t_2 = \frac{d}{v_{п \perp}} = \frac{d}{v_п \cos(\alpha)}$

Сравнение времени
Сравним время первого и второго пловцов:
$t_1 = \frac{d}{v_п}$
$t_2 = \frac{d}{v_п \cos(\alpha)}$
Поскольку второй пловец плывет под углом к перпендикуляру, чтобы компенсировать течение, этот угол $\alpha$ больше нуля. Для любого угла $\alpha > 0$ (но меньше 90°, иначе он не пересечет реку), значение $\cos(\alpha)$ будет строго меньше 1.
Так как $\cos(\alpha) < 1$, знаменатель в выражении для $t_2$ ($v_п \cos(\alpha)$) меньше, чем знаменатель в выражении для $t_1$ ($v_п$). Следовательно, $t_2 > t_1$.
Это означает, что первый пловец затратит меньше времени на пересечение реки.

Ответ: Первый пловец достигнет противоположного берега первым.