Номер 15, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Используя векторы, докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть дан ромб $ABCD$. Введем векторы, соответствующие двум смежным сторонам ромба, выходящим из одной вершины, например, из вершины $A$. Обозначим $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Равенство длин смежных сторон в векторной форме означает равенство модулей соответствующих векторов: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно, $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$. Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно найти как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$. Следовательно, $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов диагоналей $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})$.

Используя свойства скалярного произведения (в частности, его дистрибутивность относительно сложения векторов), раскроем скобки по правилу, аналогичному формуле разности квадратов в алгебре: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), то первые и последние члены взаимно уничтожаются. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$). Таким образом, выражение упрощается: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$.

Как мы установили вначале, для ромба $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, и квадраты их модулей равны: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$. Подставим это в наше выражение для скалярного произведения: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов, представляющих диагонали ромба, равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами диагонали ромба перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Скалярное произведение векторов диагоналей ромба $\vec{AC} = \vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{BD} = \vec{b}-\vec{a}$ равно $|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$. Так как в ромбе длины сторон равны ($|\vec{a}|=|\vec{b}|$), это произведение равно нулю, что доказывает перпендикулярность диагоналей.