Номер 19, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Чтобы пересечь реку перпендикулярно течению, лодку направ-ляют под углом $55^\circ$ к берегу. Чему равна скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна $12 \text{ км/ч}$?

Для решения данной задачи воспользуемся правилом сложения скоростей. Результирующая скорость лодки относительно берега ($ \vec{v}_{рез} $) равна векторной сумме ее собственной скорости в стоячей воде ($ \vec{v}_{лод} $) и скорости течения реки ($ \vec{v}_{теч} $): $ \vec{v}_{рез} = \vec{v}_{лод} + \vec{v}_{теч} $.
По условию, лодка пересекает реку перпендикулярно течению. Это означает, что вектор результирующей скорости $ \vec{v}_{рез} $ перпендикулярен вектору скорости течения $ \vec{v}_{теч} $.
Из векторного уравнения сложения скоростей следует, что $ \vec{v}_{лод} = \vec{v}_{рез} - \vec{v}_{теч} $. Поскольку векторы $ \vec{v}_{рез} $ и $ \vec{v}_{теч} $ взаимно перпендикулярны, их модули образуют прямоугольный треугольник скоростей. В этом треугольнике собственная скорость лодки $v_{лод}$ является гипотенузой, а скорость течения $v_{теч}$ и результирующая скорость $v_{рез}$ — катетами. Это следует из теоремы Пифагора для модулей векторов: $v_{лод}^2 = v_{рез}^2 + v_{теч}^2$.
Угол, под которым направляют лодку к берегу, $ \alpha = 55^\circ $, — это угол между вектором собственной скорости лодки ($ \vec{v}_{лод} $) и линией берега (которая параллельна вектору течения $ \vec{v}_{теч} $). В нашем прямоугольном треугольнике скоростей это будет острый угол между гипотенузой ($v_{лод}$) и катетом ($v_{теч}$).
Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:
$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{v_{теч}}{v_{лод}} $
Отсюда выражаем искомую скорость течения:
$ v_{теч} = v_{лод} \cdot \cos(\alpha) $
Подставляем данные из условия задачи: $v_{лод} = 12$ км/ч и $ \alpha = 55^\circ $.
$ v_{теч} = 12 \cdot \cos(55^\circ) $
Используя калькулятор, находим значение косинуса: $ \cos(55^\circ) \approx 0.5736 $.
$ v_{теч} \approx 12 \cdot 0.5736 \approx 6.8832 $ км/ч.
Ответ: Скорость течения реки равна $12 \cos(55^\circ) \approx 6.9$ км/ч.