Вопросы, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется координатами вектора?

2. Какие векторы называются координатными?

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по координатным векторам.

4. Что происходит с координатами при сложении двух векторов?

5. Что происходит с координатами при умножении вектора на число?

6. Как находятся координаты вектора по известным координатам его начала и конца?

7. Как скалярное произведение векторов выражается через их координаты?

1. Что называется координатами вектора?

Координатами вектора в заданной системе координат называются коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам. Если вектор $\vec{a}$ на плоскости представлен в виде суммы $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — это единичные координатные векторы, то пара чисел ($x; y$) называется координатами вектора $\vec{a}$. Координаты вектора принято записывать в фигурных скобках: $\vec{a}\{x; y\}$.

Ответ: Координаты вектора — это коэффициенты в его разложении по координатным векторам. Для вектора $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$ его координаты есть $\{x; y\}$.

2. Какие векторы называются координатными?

Координатными векторами (или ортами) называются единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси. В двумерной декартовой системе координат это вектор $\vec{i}$, сонаправленный с осью Ox, и вектор $\vec{j}$, сонаправленный с осью Oy. Длина каждого из этих векторов равна единице: $|\vec{i}|=1$, $|\vec{j}|=1$. Координаты этих векторов: $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$. В трехмерном пространстве добавляется вектор $\vec{k}\{0; 0; 1\}$, сонаправленный с осью Oz.

Ответ: Координатные векторы — это единичные векторы, сонаправленные с положительными направлениями осей координат ($\vec{i}$ для оси Ox, $\vec{j}$ для оси Oy).

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по координатным векторам.

Теорема гласит: любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. В применении к координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ (которые неколлинеарны) теорема формулируется так: любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации $\vec{p} = x\vec{i} + y\vec{j}$, где коэффициенты $x$ и $y$ являются координатами вектора $\vec{p}$ в данной системе координат.

Ответ: Любой вектор $\vec{p}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{p} = x\vec{i} + y\vec{j}$, где числа $x$ и $y$ — координаты вектора $\vec{p}$.

4. Что происходит с координатами при сложении двух векторов?

При сложении двух или более векторов их соответствующие координаты складываются. Если дан вектор $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и вектор $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то их сумма, вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, будет иметь координаты, равные сумме соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: $\vec{a}\{x_1; y_1\} + \vec{b}\{x_2; y_2\} = \vec{c}\{x_1+x_2; y_1+y_2\}$.

5. Что происходит с координатами при умножении вектора на число?

При умножении вектора на некоторое число (скаляр) каждая его координата умножается на это число. Если дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и число $k$, то произведение $k\vec{a}$ есть вектор с координатами, каждая из которых в $k$ раз больше соответствующей координаты вектора $\vec{a}$.

Ответ: Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число: $k \cdot \vec{a}\{x; y\} = \vec{b}\{kx; ky\}$.

6. Как находятся координаты вектора по известным координатам его начала и конца?

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своего начала $A(x_1; y_1)$ и конца $B(x_2; y_2)$, то его координаты вычисляются по следующему правилу.

Ответ: Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1; y_1)$ и концом в точке $B(x_2; y_2)$ равны $\{x_2-x_1; y_2-y_1\}$.

7. Как скалярное произведение векторов выражается через их координаты?

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат. Для векторов на плоскости $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ вычисляется по формуле. Это правило справедливо и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.