Страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется координатами вектора?

2. Какие векторы называются координатными?

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по координатным векторам.

4. Что происходит с координатами при сложении двух векторов?

5. Что происходит с координатами при умножении вектора на число?

6. Как находятся координаты вектора по известным координатам его начала и конца?

7. Как скалярное произведение векторов выражается через их координаты?

1. Что называется координатами вектора?

Координатами вектора в заданной системе координат называются коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам. Если вектор $\vec{a}$ на плоскости представлен в виде суммы $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — это единичные координатные векторы, то пара чисел ($x; y$) называется координатами вектора $\vec{a}$. Координаты вектора принято записывать в фигурных скобках: $\vec{a}\{x; y\}$.

Ответ: Координаты вектора — это коэффициенты в его разложении по координатным векторам. Для вектора $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$ его координаты есть $\{x; y\}$.

2. Какие векторы называются координатными?

Координатными векторами (или ортами) называются единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси. В двумерной декартовой системе координат это вектор $\vec{i}$, сонаправленный с осью Ox, и вектор $\vec{j}$, сонаправленный с осью Oy. Длина каждого из этих векторов равна единице: $|\vec{i}|=1$, $|\vec{j}|=1$. Координаты этих векторов: $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$. В трехмерном пространстве добавляется вектор $\vec{k}\{0; 0; 1\}$, сонаправленный с осью Oz.

Ответ: Координатные векторы — это единичные векторы, сонаправленные с положительными направлениями осей координат ($\vec{i}$ для оси Ox, $\vec{j}$ для оси Oy).

3. Сформулируйте теорему о разложении вектора по координатным векторам.

Теорема гласит: любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. В применении к координатным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$ (которые неколлинеарны) теорема формулируется так: любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации $\vec{p} = x\vec{i} + y\vec{j}$, где коэффициенты $x$ и $y$ являются координатами вектора $\vec{p}$ в данной системе координат.

Ответ: Любой вектор $\vec{p}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{p} = x\vec{i} + y\vec{j}$, где числа $x$ и $y$ — координаты вектора $\vec{p}$.

4. Что происходит с координатами при сложении двух векторов?

При сложении двух или более векторов их соответствующие координаты складываются. Если дан вектор $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и вектор $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то их сумма, вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, будет иметь координаты, равные сумме соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: $\vec{a}\{x_1; y_1\} + \vec{b}\{x_2; y_2\} = \vec{c}\{x_1+x_2; y_1+y_2\}$.

5. Что происходит с координатами при умножении вектора на число?

При умножении вектора на некоторое число (скаляр) каждая его координата умножается на это число. Если дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и число $k$, то произведение $k\vec{a}$ есть вектор с координатами, каждая из которых в $k$ раз больше соответствующей координаты вектора $\vec{a}$.

Ответ: Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число: $k \cdot \vec{a}\{x; y\} = \vec{b}\{kx; ky\}$.

6. Как находятся координаты вектора по известным координатам его начала и конца?

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своего начала $A(x_1; y_1)$ и конца $B(x_2; y_2)$, то его координаты вычисляются по следующему правилу.

Ответ: Координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1; y_1)$ и концом в точке $B(x_2; y_2)$ равны $\{x_2-x_1; y_2-y_1\}$.

7. Как скалярное произведение векторов выражается через их координаты?

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат. Для векторов на плоскости $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ их скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ вычисляется по формуле. Это правило справедливо и для векторов в трехмерном пространстве.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

1. Назовите координаты векторов:

а) $-2\vec{i} + 6\vec{j}$;

б) $\vec{i} + 3\vec{j}$;

в) $-3\vec{j}$;

г) $-5\vec{i}$.

Координаты вектора, представленного в виде разложения по базисным (координатным) векторам $\bar{i}$ и $\bar{j}$, — это коэффициенты при этих векторах. Если вектор $\bar{a}$ задан в виде $\bar{a} = x\bar{i} + y\bar{j}$, то его координаты на плоскости записываются в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$. Коэффициент при $\bar{i}$ является первой координатой (абсциссой), а коэффициент при $\bar{j}$ — второй координатой (ординатой).

а) Дан вектор $-2\bar{i} + 6\bar{j}$.
В этом выражении коэффициент при $\bar{i}$ равен $-2$, а коэффициент при $\bar{j}$ равен $6$.
Следовательно, координаты вектора равны $(-2; 6)$.
Ответ: $(-2; 6)$.

б) Дан вектор $\bar{i} + 3\bar{j}$.
Выражение $\bar{i}$ эквивалентно $1\bar{i}$. Таким образом, вектор можно записать как $1\bar{i} + 3\bar{j}$.
Коэффициент при $\bar{i}$ равен $1$, а коэффициент при $\bar{j}$ равен $3$.
Следовательно, координаты вектора равны $(1; 3)$.
Ответ: $(1; 3)$.

в) Дан вектор $-3\bar{j}$.
В этом выражении отсутствует слагаемое с вектором $\bar{i}$, что означает, что коэффициент при нем равен 0. Вектор можно записать в виде $0\bar{i} - 3\bar{j}$.
Коэффициент при $\bar{i}$ равен $0$, а коэффициент при $\bar{j}$ равен $-3$.
Следовательно, координаты вектора равны $(0; -3)$.
Ответ: $(0; -3)$.

г) Дан вектор $-5\bar{i}$.
В этом выражении отсутствует слагаемое с вектором $\bar{j}$, что означает, что коэффициент при нем равен 0. Вектор можно записать в виде $-5\bar{i} + 0\bar{j}$.
Коэффициент при $\bar{i}$ равен $-5$, а коэффициент при $\bar{j}$ равен $0$.
Следовательно, координаты вектора равны $(-5; 0)$.
Ответ: $(-5; 0)$.

2. Найдите координаты вектора $\vec{A_1 A_2}$, если точки $A_1, A_2$ имеют координаты $(-3; 5)$, $(2; 3)$ соответственно.

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат его конечной точки вычесть соответствующие координаты его начальной точки. Если вектор задан точками $A_1(x_1; y_1)$ (начало) и $A_2(x_2; y_2)$ (конец), то его координаты вычисляются по следующей формуле:

$\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$

В данной задаче нам даны координаты точек:

$A_1(-3; 5)$, следовательно $x_1 = -3$, $y_1 = 5$.

$A_2(2; 3)$, следовательно $x_2 = 2$, $y_2 = 3$.

Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения координат вектора $\vec{A_1A_2}$:

Первая координата (абсцисса): $x_2 - x_1 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$.

Вторая координата (ордината): $y_2 - y_1 = 3 - 5 = -2$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{A_1A_2}$ равны $(5; -2)$.

Ответ: $(5; -2)$.

3. Выразите длину вектора $\vec{a}$ через его координаты $(x; y).

3. Длина (или модуль) вектора $\vec{a}$ с координатами $(x; y)$ — это расстояние от его начальной точки до конечной. Если отложить вектор от начала координат $O(0, 0)$, то его конец будет в точке $A(x, y)$. Длина вектора $\vec{a}$, обозначаемая как $|\vec{a}|$, будет равна расстоянию $OA$.

Чтобы найти это расстояние, мы можем использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBA$, где точка $O$ — начало координат, точка $A$ имеет координаты $(x, y)$, а точка $B$ имеет координаты $(x, 0)$.

В этом треугольнике:

- Катет $OB$ лежит на оси $Ox$, и его длина равна $|x|$.

- Катет $BA$ параллелен оси $Oy$, и его длина равна $|y|$.

- Гипотенуза $OA$ является нашим вектором $\vec{a}$, и её длина равна $|\vec{a}|$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

$|\vec{a}|^2 = |x|^2 + |y|^2$

Так как $|x|^2 = x^2$ и $|y|^2 = y^2$, уравнение можно переписать в виде:

$|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2$

Чтобы найти длину вектора $|\vec{a}|$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина не может быть отрицательной, мы берем положительное значение корня:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Таким образом, длина вектора выражается как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Ответ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

4. Найдите координаты точки $N$, если вектор $\overline{MN}$ имеет координаты $(4; -3)$ и точка $M(1; -3)$.

Чтобы найти координаты точки N, воспользуемся определением координат вектора. Координаты вектора, заданного двумя точками, равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x_M; y_M)$, а точка $N$ имеет координаты $(x_N; y_N)$. Тогда вектор $\vec{MN}$ будет иметь координаты $(x_N - x_M; y_N - y_M)$.

По условию задачи нам даны:

Координаты точки $M(1; -3)$, следовательно, $x_M = 1$ и $y_M = -3$.

Координаты вектора $\vec{MN}(4; -3)$.

Составим систему уравнений, приравняв формулы для координат вектора к их заданным значениям:

$x_N - x_M = 4$

$y_N - y_M = -3$

Подставим известные координаты точки $M$ в эти уравнения:

$x_N - 1 = 4$

$y_N - (-3) = -3$

Теперь решим каждое уравнение относительно неизвестных координат точки $N$:

Из первого уравнения находим $x_N$:

$x_N = 4 + 1$

$x_N = 5$

Из второго уравнения находим $y_N$:

$y_N + 3 = -3$

$y_N = -3 - 3$

$y_N = -6$

Следовательно, точка N имеет координаты $(5; -6)$.

Ответ: $N(5; -6)$

паты $ (1; 3) $ и то на M$ (1; 3). $

5. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a}_1(-1; 2) $ и $ \vec{a}_2(2; -1). $

5. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Формула для скалярного произведения выглядит следующим образом:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

В нашем случае даны векторы $\vec{a_1}(-1; 2)$ и $\vec{a_2}(2; -1)$.
Координаты первого вектора: $x_1 = -1$, $y_1 = 2$.
Координаты второго вектора: $x_2 = 2$, $y_2 = -1$.

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = -2 - 2 = -4$.
Ответ: $-4$.

6. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}_1(1; 2)$ и $\vec{a}_2(2; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле, которая выражает его через скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos \alpha = \frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}| \cdot |\vec{a_2}|}$

Для данных векторов $\vec{a_1}(1; 2)$ и $\vec{a_2}(2; 1)$ последовательно вычислим все необходимые значения.

1. Найдем скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4$.

2. Найдем длины (модули) векторов.
Длина вектора $\vec{a}(x;y)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
$|\vec{a_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
$|\vec{a_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.
$\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

7. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b)$. Найдите координаты вектора $\vec{BA}$.

Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$. Противоположные векторы имеют одинаковую длину (модуль), но противоположные направления. В координатной форме это означает, что каждая координата противоположного вектора имеет противоположный знак.

Пусть точки A и B имеют координаты $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ определяются как разность координат его конца (точка B) и начала (точка A):
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

По условию задачи, нам дано, что $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b)$. Значит:
$a = x_B - x_A$
$b = y_B - y_A$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{BA}$. Его начало находится в точке B, а конец — в точке A.
$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B)$.

Выразим эти координаты через $a$ и $b$:
$x_A - x_B = -(x_B - x_A) = -a$
$y_A - y_B = -(y_B - y_A) = -b$

Следовательно, координаты вектора $\vec{BA}$ равны $(-a; -b)$.

Это также можно показать через свойство векторов: $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Умножение вектора на -1 изменяет знак каждой его координаты на противоположный. Если $\vec{AB} = (a; b)$, то $\vec{BA} = -1 \cdot \vec{AB} = (-1 \cdot a; -1 \cdot b) = (-a; -b)$.

Ответ: $(-a; -b)$

8. Даны три точки A(1; 1), B(-1; 0), C(0; 1). Найдите координаты точки D, для которой векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны.

Для того чтобы найти координаты точки $D$, необходимо воспользоваться условием равенства векторов. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, если равны их соответствующие координаты.

Пусть искомая точка $D$ имеет координаты $(x; y)$.

1. Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.

Для точек $A(1; 1)$ и $B(-1; 0)$ координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Подставим значения координат:

$\vec{AB} = (-1 - 1; 0 - 1) = (-2; -1)$

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{CD}$ через неизвестные координаты точки $D(x; y)$.

Для точек $C(0; 1)$ и $D(x; y)$ координаты вектора $\vec{CD}$ вычисляются так:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (x - 0; y - 1) = (x; y - 1)$

3. Согласно условию задачи, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. Приравняем их координаты:

$\vec{AB} = \vec{CD}$

$(-2; -1) = (x; y - 1)$

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат. Это приводит к системе двух уравнений:

$ \begin{cases} x = -2 \\ y - 1 = -1 \end{cases} $

4. Решим эту систему уравнений.

Первое уравнение уже дает нам значение $x$: $x = -2$.

Из второго уравнения найдем $y$:

$y = -1 + 1$

$y = 0$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(-2; 0)$.

Ответ: $D(-2; 0)$.

9. Найдите координаты векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$, если $\vec{a}(1; 0)$, $\vec{b}(0; 3)$.

Для того чтобы найти координаты суммы и разности векторов, необходимо выполнить соответствующие арифметические операции (сложение или вычитание) с их координатами по каждой оси. В данной задаче нам даны векторы $\vec{a}(1; 0)$ и $\vec{b}(0; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$

Координаты суммы двух векторов равны сумме их соответствующих координат. Чтобы найти координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$, необходимо сложить соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Первая координата (абсцисса): $1 + 0 = 1$.

Вторая координата (ордината): $0 + 3 = 3$.

Таким образом, координаты искомого вектора: $\vec{a} + \vec{b} = (1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$

Координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат. Чтобы найти координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, необходимо из координат вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{b}$.

Первая координата (абсцисса): $1 - 0 = 1$.

Вторая координата (ордината): $0 - 3 = -3$.

Таким образом, координаты искомого вектора: $\vec{a} - \vec{b} = (1; -3)$.

Ответ: $(1; -3)$.

10. Даны векторы $\vec{a}(-1; 2)$ и $\vec{b}(2; -4)$. Найдите координаты вектора:

а) $3\vec{a} + 2\vec{b}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$;

в) $-\vec{a} + 5\vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}(-1; 2)$ и $\vec{b}(2; -4)$. Чтобы найти координаты результирующего вектора, необходимо выполнить операции умножения вектора на число (скаляр) и сложения/вычитания векторов.
- При умножении вектора на скаляр, каждая координата вектора умножается на этот скаляр: $k \cdot \vec{v}(x; y) = (k \cdot x; k \cdot y)$.
- При сложении/вычитании векторов, их соответствующие координаты складываются/вычитаются: $\vec{v_1}(x_1; y_1) \pm \vec{v_2}(x_2; y_2) = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2)$.

а) $3\vec{a} + 2\vec{b}$
1. Найдем координаты вектора $3\vec{a}$:
$3\vec{a} = 3 \cdot (-1; 2) = (3 \cdot (-1); 3 \cdot 2) = (-3; 6)$.
2. Найдем координаты вектора $2\vec{b}$:
$2\vec{b} = 2 \cdot (2; -4) = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-4)) = (4; -8)$.
3. Сложим полученные векторы:
$3\vec{a} + 2\vec{b} = (-3; 6) + (4; -8) = (-3 + 4; 6 - 8) = (1; -2)$.
Ответ: $(1; -2)$.

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$
1. Найдем координаты вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$:
$\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (-1; 2) = (\frac{1}{2} \cdot (-1); \frac{1}{2} \cdot 2) = (-\frac{1}{2}; 1)$.
2. Найдем координаты вектора $\frac{1}{4}\vec{b}$:
$\frac{1}{4}\vec{b} = \frac{1}{4} \cdot (2; -4) = (\frac{1}{4} \cdot 2; \frac{1}{4} \cdot (-4)) = (\frac{1}{2}; -1)$.
3. Вычтем из первого вектора второй:
$\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} = (-\frac{1}{2}; 1) - (\frac{1}{2}; -1) = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; 1 - (-1)) = (-1; 2)$.
Ответ: $(-1; 2)$.

в) $-\vec{a} + 5\vec{b}$
1. Найдем координаты вектора $-\vec{a}$, что эквивалентно умножению на -1:
$-\vec{a} = -1 \cdot (-1; 2) = (-1 \cdot (-1); -1 \cdot 2) = (1; -2)$.
2. Найдем координаты вектора $5\vec{b}$:
$5\vec{b} = 5 \cdot (2; -4) = (5 \cdot 2; 5 \cdot (-4)) = (10; -20)$.
3. Сложим полученные векторы:
$-\vec{a} + 5\vec{b} = (1; -2) + (10; -20) = (1 + 10; -2 - 20) = (11; -22)$.
Ответ: $(11; -22)$.

11. Найдите скалярное произведение векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$, изображенных на рисунке 6.4.

Рис. 6.4

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$, сперва определим их координаты на основе предоставленного рисунка. Оба вектора исходят из начала координат O(0, 0), следовательно, их координаты равны координатам их конечных точек.

1. Определение координат вектора $\bar{a}$
Конечная точка вектора $\bar{a}$ имеет проекцию на ось x, равную 2, и на ось y, равную 6. Таким образом, координаты вектора $\bar{a}$ таковы: $\bar{a} = \{2; 6\}$.

2. Определение координат вектора $\bar{b}$
Конечная точка вектора $\bar{b}$ имеет проекцию на ось x, равную 8, и на ось y, равную 4. Таким образом, координаты вектора $\bar{b}$ таковы: $\bar{b} = \{8; 4\}$.

3. Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов $\bar{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\bar{b} = \{x_2; y_2\}$ в декартовой системе координат вычисляется по формуле:
$\bar{a} \cdot \bar{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Подставим найденные координаты векторов в эту формулу:
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 2 \cdot 8 + 6 \cdot 4$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 16 + 24$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 40$

Ответ: 40