Номер 10, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Даны векторы $\vec{a}(-1; 2)$ и $\vec{b}(2; -4)$. Найдите координаты вектора:

а) $3\vec{a} + 2\vec{b}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$;

в) $-\vec{a} + 5\vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}(-1; 2)$ и $\vec{b}(2; -4)$. Чтобы найти координаты результирующего вектора, необходимо выполнить операции умножения вектора на число (скаляр) и сложения/вычитания векторов.
- При умножении вектора на скаляр, каждая координата вектора умножается на этот скаляр: $k \cdot \vec{v}(x; y) = (k \cdot x; k \cdot y)$.
- При сложении/вычитании векторов, их соответствующие координаты складываются/вычитаются: $\vec{v_1}(x_1; y_1) \pm \vec{v_2}(x_2; y_2) = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2)$.

а) $3\vec{a} + 2\vec{b}$
1. Найдем координаты вектора $3\vec{a}$:
$3\vec{a} = 3 \cdot (-1; 2) = (3 \cdot (-1); 3 \cdot 2) = (-3; 6)$.
2. Найдем координаты вектора $2\vec{b}$:
$2\vec{b} = 2 \cdot (2; -4) = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-4)) = (4; -8)$.
3. Сложим полученные векторы:
$3\vec{a} + 2\vec{b} = (-3; 6) + (4; -8) = (-3 + 4; 6 - 8) = (1; -2)$.
Ответ: $(1; -2)$.

б) $\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$
1. Найдем координаты вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$:
$\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (-1; 2) = (\frac{1}{2} \cdot (-1); \frac{1}{2} \cdot 2) = (-\frac{1}{2}; 1)$.
2. Найдем координаты вектора $\frac{1}{4}\vec{b}$:
$\frac{1}{4}\vec{b} = \frac{1}{4} \cdot (2; -4) = (\frac{1}{4} \cdot 2; \frac{1}{4} \cdot (-4)) = (\frac{1}{2}; -1)$.
3. Вычтем из первого вектора второй:
$\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} = (-\frac{1}{2}; 1) - (\frac{1}{2}; -1) = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; 1 - (-1)) = (-1; 2)$.
Ответ: $(-1; 2)$.

в) $-\vec{a} + 5\vec{b}$
1. Найдем координаты вектора $-\vec{a}$, что эквивалентно умножению на -1:
$-\vec{a} = -1 \cdot (-1; 2) = (-1 \cdot (-1); -1 \cdot 2) = (1; -2)$.
2. Найдем координаты вектора $5\vec{b}$:
$5\vec{b} = 5 \cdot (2; -4) = (5 \cdot 2; 5 \cdot (-4)) = (10; -20)$.
3. Сложим полученные векторы:
$-\vec{a} + 5\vec{b} = (1; -2) + (10; -20) = (1 + 10; -2 - 20) = (11; -22)$.
Ответ: $(11; -22)$.