Номер 17, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Повторите уравнение прямой на координатной плоскости.

Уравнение прямой на координатной плоскости — это алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют координаты $ (x, y) $ каждой точки, лежащей на этой прямой, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. Существует несколько форм записи этого уравнения.

Общее уравнение прямой

Наиболее общей формой является линейное уравнение относительно $x$ и $y$:

$Ax + By + C = 0$

Здесь $A$, $B$ и $C$ — это числовые коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов $A$ или $B$ должен быть отличен от нуля. Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является вектором нормали к прямой, то есть он перпендикулярен этой прямой.

Частные случаи:

1. Если $A=0$ (при $B \neq 0$), уравнение принимает вид $By + C = 0$ или $y = -C/B$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$.

2. Если $B=0$ (при $A \neq 0$), уравнение принимает вид $Ax + C = 0$ или $x = -A/C$. Это вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$.

3. Если $C=0$, уравнение $Ax + By = 0$ описывает прямую, проходящую через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ — действительные числа, и $A^2 + B^2 \neq 0$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эта форма является наиболее распространенной в школьном курсе. Она получается из общего уравнения, если коэффициент $B \neq 0$ и уравнение разрешено относительно $y$:

$y = kx + b$

В этом уравнении:

• $k$ — угловой коэффициент. Он равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$): $k = \tan(\alpha)$. Коэффициент $k$ показывает "наклон" прямой. Если $k > 0$, прямая возрастает. Если $k < 0$, прямая убывает. Если $k = 0$, прямая горизонтальна.

• $b$ — свободный член. Это ордината точки, в которой прямая пересекает ось ординат ($Oy$). Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, b)$.

Ответ: Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если известны координаты двух различных точек $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая, ее уравнение можно записать в каноническом виде:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Эта формула применяется, когда прямая не параллельна осям координат, то есть $x_1 \neq x_2$ и $y_1 \neq y_2$. Если $x_1 = x_2$, то прямая вертикальна и ее уравнение $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то прямая горизонтальна и ее уравнение $y = y_1$.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, записывается как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении

Если известны координаты одной точки $M_0(x_0, y_0)$, принадлежащей прямой, и ее угловой коэффициент $k$, то уравнение прямой можно найти по формуле:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Эта форма также известна как "point-slope form" и очень удобна для решения практических задач.

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает на осях координат отрезки $a$ и $b$ (то есть пересекает ось $Ox$ в точке $(a, 0)$ и ось $Oy$ в точке $(0, b)$), то ее уравнение можно записать в виде:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Эта форма удобна для быстрого построения прямой. Она имеет смысл только если прямая не проходит через начало координат ($a \neq 0, b \neq 0$) и не параллельна ни одной из осей.

Ответ: Уравнение прямой в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a$ и $b$ — длины отрезков, отсекаемых прямой на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.