Номер 8, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Даны три точки A(1; 1), B(-1; 0), C(0; 1). Найдите координаты точки D, для которой векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны.

Для того чтобы найти координаты точки $D$, необходимо воспользоваться условием равенства векторов. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, если равны их соответствующие координаты.

Пусть искомая точка $D$ имеет координаты $(x; y)$.

1. Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.

Для точек $A(1; 1)$ и $B(-1; 0)$ координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Подставим значения координат:

$\vec{AB} = (-1 - 1; 0 - 1) = (-2; -1)$

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{CD}$ через неизвестные координаты точки $D(x; y)$.

Для точек $C(0; 1)$ и $D(x; y)$ координаты вектора $\vec{CD}$ вычисляются так:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (x - 0; y - 1) = (x; y - 1)$

3. Согласно условию задачи, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. Приравняем их координаты:

$\vec{AB} = \vec{CD}$

$(-2; -1) = (x; y - 1)$

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат. Это приводит к системе двух уравнений:

$ \begin{cases} x = -2 \\ y - 1 = -1 \end{cases} $

4. Решим эту систему уравнений.

Первое уравнение уже дает нам значение $x$: $x = -2$.

Из второго уравнения найдем $y$:

$y = -1 + 1$

$y = 0$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(-2; 0)$.

Ответ: $D(-2; 0)$.