Номер 6, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}_1(1; 2)$ и $\vec{a}_2(2; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле, которая выражает его через скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos \alpha = \frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}| \cdot |\vec{a_2}|}$

Для данных векторов $\vec{a_1}(1; 2)$ и $\vec{a_2}(2; 1)$ последовательно вычислим все необходимые значения.

1. Найдем скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4$.

2. Найдем длины (модули) векторов.
Длина вектора $\vec{a}(x;y)$ находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
$|\vec{a_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
$|\vec{a_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.
$\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.