Задания, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите это самостоятельно.

Так как в задании не указано, какое утверждение требуется доказать, приведем в качестве примера доказательство классической теоремы из геометрии о сумме углов треугольника.

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник, который мы обозначим как $\triangle ABC$. Пусть его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ будут соответственно $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Через вершину $B$ проведем прямую $DE$, которая параллельна стороне $AC$. Точки $D$ и $E$ выбраны так, что вершина $B$ лежит между ними.

Угол $\angle DBE$ является развернутым, поскольку точки $D, B, E$ лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из трех смежных углов: $\angle DBA$, $\angle ABC$ (то есть, $\angle B$ нашего треугольника) и $\angle CBE$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle DBA + \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$

Теперь рассмотрим углы, образованные при пересечении параллельных прямых $DE$ и $AC$ секущими.

Прямая $AB$ является секущей для параллельных прямых $DE$ и $AC$. Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ (то есть $\angle A$) являются внутренними накрест лежащими углами. Согласно свойству параллельных прямых, такие углы равны:

$\angle DBA = \angle A$

Аналогично, прямая $BC$ является секущей для тех же параллельных прямых $DE$ и $AC$. Углы $\angle CBE$ и $\angle BCA$ (то есть $\angle C$) также являются внутренними накрест лежащими углами. Следовательно, они тоже равны:

$\angle CBE = \angle C$

Теперь подставим полученные равенства в наше первое уравнение ($\angle DBA + \angle ABC + \angle CBE = 180^\circ$). Заменим $\angle DBA$ на $\angle A$ и $\angle CBE$ на $\angle C$:

$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ$

Учитывая, что $\angle ABC$ — это угол $\angle B$ треугольника, получаем:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов треугольника действительно равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, доказано.