Страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Выясните, в каком случае скалярное произведение двух ненулевых векторов принимает наибольшее значение.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Поскольку по условию векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ являются фиксированными положительными числами. Следовательно, значение скалярного произведения зависит от величины $\cos(\alpha)$.

Чтобы скалярное произведение было наибольшим, множитель $\cos(\alpha)$ должен принять свое наибольшее значение. Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому ее максимальное значение равно 1.

Значение $\cos(\alpha) = 1$ достигается при угле $\alpha = 0^\circ$. Угол между векторами равен нулю тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены, то есть они коллинеарны и имеют одинаковое направление.

В этом случае скалярное произведение достигает своего максимума, равного произведению длин векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 1 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Ответ: скалярное произведение двух ненулевых векторов принимает наибольшее значение, когда векторы сонаправлены (угол между ними равен $0^\circ$).

1. Что называется углом между двумя векторами?

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

3. Что называется скалярным произведением двух векторов? Как обозначается скалярное произведение?

4. Что называется скалярным квадратом?

5. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

6. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

1. Что называется углом между двумя векторами? Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенными от одной точки $O$ ($\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$), называется наименьший угол $\varphi$ между лучами $OA$ и $OB$. Этот угол может принимать значения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определён. Угол в $0^\circ$ соответствует сонаправленным векторам, а угол в $180^\circ$ — противоположно направленным векторам. Ответ:

2. Какие два вектора называются перпендикулярными? Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). По определению, нулевой вектор считается перпендикулярным любому другому вектору. Перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается символом $\vec{a} \perp \vec{b}$. Ответ:

3. Что называется скалярным произведением двух векторов? Как обозначается скалярное произведение? Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $\varphi$ между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю. Геометрическое определение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$. Алгебраическое определение (в координатах, для векторов $\vec{a}=\{x_1, y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2, y_2\}$ на плоскости): $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Скалярное произведение обозначается точкой между векторами ($\vec{a} \cdot \vec{b}$) или круглыми скобками $(\vec{a}, \vec{b})$. Ответ:

4. Что называется скалярным квадратом? Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Он обозначается как $\vec{a}^2$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Это следует из определения: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2$, поскольку угол между вектором и им самим равен $0^\circ$, а $\cos(0^\circ) = 1$. Ответ:

5. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю? Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий: 1. Хотя бы один из векторов является нулевым. 2. Ненулевые векторы перпендикулярны (ортогональны) друг другу, так как в этом случае угол между ними равен $90^\circ$, а $\cos(90^\circ) = 0$. Таким образом, условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ является критерием перпендикулярности двух ненулевых векторов. Ответ:

6. Какой физический смысл имеет скалярное произведение? Основной физический смысл скалярного произведения заключается в вычислении механической работы. Работа $A$, совершаемая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$. Эта формула показывает, что работа зависит не только от величин силы и перемещения, но и от угла между ними. Например, если сила перпендикулярна перемещению, то работа равна нулю. Другие примеры использования скалярного произведения в физике: мощность $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ (где $\vec{v}$ — скорость), поток вектора напряженности электрического поля или магнитной индукции через площадку. Ответ:

1. Найдите скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$, а угол между ними равен:

а) 45°;

б) 90°;

в) 135°;

г) 180°.

Для нахождения скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — это угол между ними.
По условию задачи имеем: $|\vec{a}|=2$ и $|\vec{b}|=3$.

а) Угол между векторами равен $45^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

б) Угол между векторами равен $90^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$.

в) Угол между векторами равен $135^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ) = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2}$.
Ответ: $-3\sqrt{2}$.

г) Угол между векторами равен $180^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(180^\circ) = 6 \cdot (-1) = -6$.
Ответ: $-6$.

2. Найдите угол между двумя векторами, если их длины равны 1, а скалярное произведение равно:

a) $0$;

б) $0.5$;

в) $-1$.

Для нахождения угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ используется формула, связывающая скалярное произведение с длинами векторов и косинусом угла между ними:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$
Из этой формулы мы можем выразить косинус угла:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
По условию задачи, длины обоих векторов равны 1, то есть $|\vec{u}| = 1$ и $|\vec{v}| = 1$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{1 \cdot 1} = \vec{u} \cdot \vec{v}$
Это означает, что косинус искомого угла равен значению скалярного произведения. Теперь найдем угол для каждого из заданных случаев, помня, что угол между векторами находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

а) Скалярное произведение равно 0.
$\cos(\alpha) = 0$
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(0) = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). В этом случае векторы называются ортогональными или перпендикулярными.
Ответ: $90^\circ$.

б) Скалярное произведение равно 0,5.
$\cos(\alpha) = 0.5$
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(0.5) = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).
Ответ: $60^\circ$.

в) Скалярное произведение равно -1.
$\cos(\alpha) = -1$
Следовательно, угол $\alpha = \arccos(-1) = 180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это означает, что векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.
Ответ: $180^\circ$.

3. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 4$, $AD = 3$. Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$;

в) $\overline{AD}$ и $\overline{AC}$.

а) Скалярное произведение двух векторов определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. В прямоугольнике $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $90^\circ$. Длины векторов соответствуют длинам сторон: $|\vec{AB}| = 4$ и $|\vec{AD}| = 3$.
Подставим значения в формулу:
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(90^\circ) = 4 \cdot 3 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

б) Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов сторон по правилу параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Воспользуемся этим для вычисления скалярного произведения:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$.
Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
$\vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{AD}$.
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (скалярный квадрат): $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 4^2 = 16$.
Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равно 0, как было найдено в пункте а).
Следовательно:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 16 + 0 = 16$.
Ответ: 16

в) Аналогично предыдущему пункту, используем разложение вектора $\vec{AC}$ на сумму $\vec{AB} + \vec{AD}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = \vec{AD} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$.
Раскроем скобки:
$\vec{AD} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AD} \cdot \vec{AB} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}$.
Скалярное произведение коммутативно, поэтому $\vec{AD} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.
Скалярный квадрат вектора $\vec{AD}$ равен: $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = 3^2 = 9$.
Следовательно:
$\vec{AD} \cdot \vec{AC} = 0 + 9 = 9$.
Ответ: 9

4. Для единичного квадрата $ABCD$ найдите скалярное произведение векторов:

а) $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$.

Пусть $ABCD$ — единичный квадрат. Это означает, что длина его стороны равна 1, то есть $|\overline{AB}| = |\overline{BC}| = |\overline{CD}| = |\overline{DA}| = 1$. Все углы квадрата прямые ($90^\circ$), а диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Скалярное произведение двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ вычисляется по формуле: $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| \cdot |\overline{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

а) $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$

Векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ являются диагоналями квадрата $ABCD$. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$ равен $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.

Подставим это значение в формулу скалярного произведения:

$\overline{AC} \cdot \overline{BD} = |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = |\overline{AC}| \cdot |\overline{BD}| \cdot 0 = 0$.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю.

Ответ: 0

б) $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$

Вектор $\overline{AB}$ — это сторона единичного квадрата, поэтому его длина (модуль) равна 1: $|\overline{AB}| = 1$.

Вектор $\overline{AC}$ — это диагональ квадрата. Найдем ее длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$|\overline{AC}| = \sqrt{|\overline{AB}|^2 + |\overline{BC}|^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Угол $\alpha$ между вектором стороны $\overline{AB}$ и вектором диагонали $\overline{AC}$ — это угол $\angle CAB$. В квадрате диагональ является биссектрисой угла, поэтому она делит прямой угол $\angle DAB = 90^\circ$ пополам. Таким образом, $\alpha = \angle CAB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Косинус угла $45^\circ$ равен $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим скалярное произведение, подставив найденные значения в формулу:

$\overline{AB} \cdot \overline{AC} = |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

5. Для ромба ABCD, стороны которого равны 1, а угол A равен $60^\circ$, найдите скалярный квадрат вектора:

а) $\vec{AC}$

б) $\vec{BD}$

а)

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Таким образом, нам нужно найти $(\vec{AC})^2 = |\vec{AC}|^2$. Вектор диагонали $\vec{AC}$ ромба $ABCD$ можно представить как сумму векторов его смежных сторон, выходящих из той же вершины, например, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Теперь найдем скалярный квадрат этого выражения:

$(\vec{AC})^2 = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного произведения, получаем:

$(\vec{AC})^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) + \vec{AD} \cdot \vec{AD}$

Это выражение эквивалентно:

$(\vec{AC})^2 = |\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AD}|\cos(\angle A) + |\vec{AD}|^2$

По условию задачи, стороны ромба равны 1, то есть $|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = 1$, а угол $\angle A = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$(\vec{AC})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) + 1^2$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$(\vec{AC})^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Ответ: 3

б)

Аналогично пункту а), скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$ равен квадрату его длины: $(\vec{BD})^2 = |\vec{BD}|^2$. Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно представить как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Найдем скалярный квадрат этого выражения:

$(\vec{BD})^2 = (\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB})$

Раскрывая скобки, получаем:

$(\vec{BD})^2 = \vec{AD} \cdot \vec{AD} - 2(\vec{AD} \cdot \vec{AB}) + \vec{AB} \cdot \vec{AB}$

Это выражение эквивалентно:

$(\vec{BD})^2 = |\vec{AD}|^2 - 2|\vec{AD}||\vec{AB}|\cos(\angle A) + |\vec{AB}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{AD}|=1$, $|\vec{AB}|=1$ и $\angle A=60^\circ$:

$(\vec{BD})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) + 1^2$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$(\vec{BD})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

Альтернативное решение: Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $ABCD$ - ромб со стороной 1, то $AB=AD=1$. Угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны, и $BD=1$. Тогда скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$ равен $|\vec{BD}|^2 = 1^2 = 1$.

Ответ: 1