Страница 32 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторите определение прямоугольной системы координат и формулу расстояния между двумя точками.

Определение прямоугольной системы координат

Прямоугольная система координат, также известная как Декартова система координат, представляет собой метод, позволяющий однозначно определить положение точки на плоскости или в пространстве с помощью набора чисел, называемых координатами.

На плоскости (двумерный случай):
Система образуется двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями: горизонтальной осью $Ox$ (ось абсцисс) и вертикальной осью $Oy$ (ось ординат). Точка их пересечения $O$ называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление (обычно вправо для $Ox$ и вверх для $Oy$) и выбирается единичный отрезок (масштаб). Положение любой точки $M$ на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$, где $x$ — абсцисса, а $y$ — ордината точки.

В пространстве (трехмерный случай):
Система образуется тремя взаимно перпендикулярными осями ($Ox$, $Oy$, $Oz$), пересекающимися в начале координат $O$. Ось $Ox$ — ось абсцисс, ось $Oy$ — ось ординат, ось $Oz$ — ось аппликат. Положение любой точки $M$ в пространстве определяется упорядоченной тройкой чисел $(x, y, z)$, где $x$ — абсцисса, $y$ — ордината, $z$ — аппликата.

Ответ: Прямоугольная система координат — это система, образованная двумя (на плоскости) или тремя (в пространстве) взаимно перпендикулярными координатными осями с общим началом координат и единым масштабом, которая позволяет задать положение точки с помощью чисел (координат).

Формула расстояния между двумя точками

Расстояние между двумя точками в прямоугольной системе координат находится с помощью теоремы Пифагора.

На плоскости:
Для двух точек $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ расстояние $d$ (или длина отрезка $AB$) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов разностей их соответствующих координат. Эта формула является следствием применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику, катетами которого служат проекции отрезка $AB$ на оси координат.
Формула расстояния на плоскости: $d = |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В пространстве:
Аналогично, для двух точек в пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ расстояние $d$ вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов разностей их координат по всем трем осям. Эта формула представляет собой длину пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Формула расстояния в пространстве: $d = |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ: Формула расстояния $d$ между точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Формула расстояния $d$ между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

24. Для вектора на координатной плоскости попробуйте определить понятие координат вектора.

Чтобы определить понятие координат вектора на плоскости, введем прямоугольную (декартову) систему координат $Oxy$. Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется не только длиной, но и направлением. Любой вектор можно задать двумя точками: начальной и конечной.

Пусть у нас есть вектор $\vec{AB}$, где точка $A$ — его начало, а точка $B$ — его конец. В выбранной системе координат каждая из этих точек имеет свои координаты: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$.

Координатами вектора $\vec{AB}$ называют упорядоченную пару чисел, равных разности соответствующих координат его конца и начала. Если обозначить координаты вектора как $(v_x, v_y)$, то они вычисляются по формулам:
$v_x = x_2 - x_1$
$v_y = y_2 - y_1$

Таким образом, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, что записывается как $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Эти координаты имеют ясный геометрический смысл:

• Первая координата $v_x$ показывает, на какое расстояние и в каком направлении (вдоль оси $Ox$) смещается точка при перемещении из начала вектора в его конец. Это проекция вектора на ось абсцисс.
• Вторая координата $v_y$ показывает аналогичное смещение вдоль оси $Oy$. Это проекция вектора на ось ординат.

Важно понимать, что вектор определяется своей длиной и направлением, а не положением на плоскости. Это означает, что все векторы, которые можно получить друг из друга параллельным переносом, считаются равными. Равные векторы всегда имеют одинаковые координаты.

Любой вектор $\vec{v} = (v_x, v_y)$ можно отложить от начала координат $O(0,0)$. В этом случае его конец попадет в точку $M$ с координатами $(v_x, v_y)$. Такой вектор $\vec{OM}$ называется радиус-вектором точки $M$. Это показывает, что координаты вектора — это, по сути, координаты его конечной точки, при условии, что его начальная точка находится в начале координат.

Ответ: Координатами вектора на плоскости называется упорядоченная пара чисел, каждая из которых равна разности соответствующих координат конца и начала этого вектора. Если вектор $\vec{AB}$ имеет начало в точке $A(x_1, y_1)$ и конец в точке $B(x_2, y_2)$, то его координаты равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.