Вопросы, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется углом между двумя векторами?

2. Какие два вектора называются перпендикулярными?

3. Что называется скалярным произведением двух векторов? Как обозначается скалярное произведение?

4. Что называется скалярным квадратом?

5. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?

6. Какой физический смысл имеет скалярное произведение?

1. Что называется углом между двумя векторами? Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенными от одной точки $O$ ($\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$), называется наименьший угол $\varphi$ между лучами $OA$ и $OB$. Этот угол может принимать значения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан). Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между ними не определён. Угол в $0^\circ$ соответствует сонаправленным векторам, а угол в $180^\circ$ — противоположно направленным векторам. Ответ:

2. Какие два вектора называются перпендикулярными? Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). По определению, нулевой вектор считается перпендикулярным любому другому вектору. Перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается символом $\vec{a} \perp \vec{b}$. Ответ:

3. Что называется скалярным произведением двух векторов? Как обозначается скалярное произведение? Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $\varphi$ между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю. Геометрическое определение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$. Алгебраическое определение (в координатах, для векторов $\vec{a}=\{x_1, y_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2, y_2\}$ на плоскости): $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Скалярное произведение обозначается точкой между векторами ($\vec{a} \cdot \vec{b}$) или круглыми скобками $(\vec{a}, \vec{b})$. Ответ:

4. Что называется скалярным квадратом? Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя. Он обозначается как $\vec{a}^2$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Это следует из определения: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0^\circ) = |\vec{a}|^2$, поскольку угол между вектором и им самим равен $0^\circ$, а $\cos(0^\circ) = 1$. Ответ:

5. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю? Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий: 1. Хотя бы один из векторов является нулевым. 2. Ненулевые векторы перпендикулярны (ортогональны) друг другу, так как в этом случае угол между ними равен $90^\circ$, а $\cos(90^\circ) = 0$. Таким образом, условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ является критерием перпендикулярности двух ненулевых векторов. Ответ:

6. Какой физический смысл имеет скалярное произведение? Основной физический смысл скалярного произведения заключается в вычислении механической работы. Работа $A$, совершаемая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении тела на вектор $\vec{s}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$. Эта формула показывает, что работа зависит не только от величин силы и перемещения, но и от угла между ними. Например, если сила перпендикулярна перемещению, то работа равна нулю. Другие примеры использования скалярного произведения в физике: мощность $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ (где $\vec{v}$ — скорость), поток вектора напряженности электрического поля или магнитной индукции через площадку. Ответ: