Номер 13, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. O — точка пересечения медиан треугольника ABC, точка X — произвольная точка плоскости. Докажите, что $\overline{XO} = \frac{1}{3}(\overline{XA} + \overline{XB} + \overline{XC})$.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами точки пересечения медиан треугольника (центроида).

Запишем векторы $\vec{XA}$, $\vec{XB}$ и $\vec{XC}$ с помощью правила треугольника для векторов, выразив их через векторы с общим началом в точке $O$:
$\vec{XA} = \vec{XO} + \vec{OA}$
$\vec{XB} = \vec{XO} + \vec{OB}$
$\vec{XC} = \vec{XO} + \vec{OC}$

Теперь подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства $\frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC})$:
$\frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC}) = \frac{1}{3}((\vec{XO} + \vec{OA}) + (\vec{XO} + \vec{OB}) + (\vec{XO} + \vec{OC}))$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:
$= \frac{1}{3}(3\vec{XO} + \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$
$= \vec{XO} + \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$

Для завершения доказательства нам необходимо показать, что для точки пересечения медиан $O$ справедливо равенство $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$.
Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. По определению медианы, вектор, проведенный к середине стороны из вершины противолежащего угла, является медианой. Вектор $\vec{OA_1}$ является вектором, проведенным из точки $O$ к середине стороны $BC$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, сумма векторов, проведенных из одной точки к концам отрезка, равна удвоенному вектору, проведенному к середине этого отрезка:
$\vec{OB} + \vec{OC} = 2\vec{OA_1}$
Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что $AO:OA_1 = 2:1$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OA_1}$ направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой (медианы $AA_1$), поэтому их связь выражается как:
$\vec{OA} = -2\vec{OA_1}$
Отсюда следует, что $2\vec{OA_1} = -\vec{OA}$.
Подставим это в наше первое соотношение:
$\vec{OB} + \vec{OC} = -\vec{OA}$
Перенеся $\vec{OA}$ в левую часть, получаем:
$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$

Теперь мы можем подставить полученный нулевой вектор в наше преобразованное выражение:
$\vec{XO} + \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \vec{XO} + \frac{1}{3}(\vec{0}) = \vec{XO}$

Мы показали, что правая часть исходного равенства тождественно равна левой части:
$\frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC}) = \vec{XO}$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\vec{XO} = \frac{1}{3}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC})$ доказано на основе свойств векторов и точки пересечения медиан треугольника.