Номер 17, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Определите понятие угла между векторами.

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол ($\alpha$) между лучами, выходящими из одной точки и сонаправленными с данными векторами.

Для нахождения этого угла векторы откладывают от общего начала — произвольной точки $O$. Если отложить от точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$, то углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будет угол $\angle AOB$. Обозначается этот угол как $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Величина угла между векторами может принимать значения в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$), то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Рассматривают следующие частные случаи:
• Если векторы сонаправлены (коллинеарны и направлены в одну сторону), то угол между ними равен $0$.
• Если векторы противоположно направлены (коллинеарны и направлены в разные стороны), то угол между ними равен $\pi$ ($180^\circ$).
• Если векторы перпендикулярны (ортогональны), то угол между ними равен $\pi/2$ ($90^\circ$).
• Важно отметить, что если хотя бы один из векторов является нулевым, то понятие угла между ними не определено.

Алгебраически угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется через их скалярное произведение. По определению, скалярное произведение векторов равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Из этого определения следует формула для нахождения косинуса угла между векторами:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат, например, на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ или в пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то формула для косинуса угла (для случая в пространстве) принимает вид:
$\cos(\alpha) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Сам угол $\alpha$ находится с помощью обратной тригонометрической функции арккосинус:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

Ответ: Угол между двумя ненулевыми векторами — это наименьший угол между направлениями этих векторов, если их начала совместить в одной точке. Его величина лежит в пределах от $0$ до $\pi$ радиан (от $0^\circ$ до $180^\circ$). Косинус этого угла вычисляется как отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин (модулей): $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.