Номер 5, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Для ромба ABCD, стороны которого равны 1, а угол A равен $60^\circ$, найдите скалярный квадрат вектора:

а) $\vec{AC}$

б) $\vec{BD}$

а)

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля). Таким образом, нам нужно найти $(\vec{AC})^2 = |\vec{AC}|^2$. Вектор диагонали $\vec{AC}$ ромба $ABCD$ можно представить как сумму векторов его смежных сторон, выходящих из той же вершины, например, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Теперь найдем скалярный квадрат этого выражения:

$(\vec{AC})^2 = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного произведения, получаем:

$(\vec{AC})^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) + \vec{AD} \cdot \vec{AD}$

Это выражение эквивалентно:

$(\vec{AC})^2 = |\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AD}|\cos(\angle A) + |\vec{AD}|^2$

По условию задачи, стороны ромба равны 1, то есть $|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = 1$, а угол $\angle A = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$(\vec{AC})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) + 1^2$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$(\vec{AC})^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Ответ: 3

б)

Аналогично пункту а), скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$ равен квадрату его длины: $(\vec{BD})^2 = |\vec{BD}|^2$. Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно представить как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Найдем скалярный квадрат этого выражения:

$(\vec{BD})^2 = (\vec{AD} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB})$

Раскрывая скобки, получаем:

$(\vec{BD})^2 = \vec{AD} \cdot \vec{AD} - 2(\vec{AD} \cdot \vec{AB}) + \vec{AB} \cdot \vec{AB}$

Это выражение эквивалентно:

$(\vec{BD})^2 = |\vec{AD}|^2 - 2|\vec{AD}||\vec{AB}|\cos(\angle A) + |\vec{AB}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{AD}|=1$, $|\vec{AB}|=1$ и $\angle A=60^\circ$:

$(\vec{BD})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) + 1^2$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$(\vec{BD})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

Альтернативное решение: Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $ABCD$ - ромб со стороной 1, то $AB=AD=1$. Угол между этими сторонами $\angle A = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны, и $BD=1$. Тогда скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$ равен $|\vec{BD}|^2 = 1^2 = 1$.

Ответ: 1