Номер 12, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что если длины ненулевых неколлинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равны, то векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны.

Чтобы доказать, что два ненулевых вектора перпендикулярны, необходимо и достаточно доказать, что их скалярное произведение равно нулю. В данном случае нам нужно доказать, что $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 $.

Вычислим это скалярное произведение, используя его свойства.
Выражение $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) $ представляет собой скалярное произведение, которое можно раскрыть по аналогии с формулой разности квадратов для чисел, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:
$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} $

Поскольку скалярное произведение коммутативно (то есть $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), два средних члена взаимно уничтожаются:
$ -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} = -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $

Тогда выражение упрощается до:
$ \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} $

Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля): $ \vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 $. Применив это свойство, получим:
$ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 $

По условию задачи, длины векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равны, то есть $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $. Следовательно, квадраты их длин также равны: $ |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 $.

Подставим это равенство в полученное выражение:
$ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0 $

Так как скалярное произведение векторов $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Условия, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ ненулевые и неколлинеарные, гарантируют, что векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ также ненулевые.

Геометрическая интерпретация: Если на векторах $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, отложенных из одной точки, построить параллелограмм, то векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ будут его диагоналями. Условие $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $ означает, что смежные стороны этого параллелограмма равны, то есть он является ромбом. А у ромба диагонали всегда перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано. Скалярное произведение векторов $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) $ равно $ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 $. Поскольку по условию $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $, то это произведение равно нулю, что является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов.