Номер 9, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $2$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ (рис. 5.4). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$;

б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$.

Рис. 5.4

В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=2$ все углы равны $60^\circ$, а медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) являются также высотами и биссектрисами. Для решения задачи введем базисные векторы, совпадающие со сторонами треугольника, выходящими из одной вершины, например, $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$.

Найдем их основные характеристики:

Длины векторов равны длине стороны треугольника: $|\vec{b}| = |\vec{AB}| = 2$ и $|\vec{c}| = |\vec{AC}| = 2$.

Скалярное произведение этих векторов равно:$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

a) Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AA_1}$

Вектор медианы $\vec{AA_1}$ можно выразить через векторы сторон, выходящих из той же вершины $A$. Так как $A_1$ — середина стороны $BC$, то вектор $\vec{AA_1}$ является полусуммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AA_1}$:$\vec{AB} \cdot \vec{AA_1} = \vec{b} \cdot \left(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\right) = \frac{1}{2}(\vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c})$.

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$. Подставим известные значения:$\frac{1}{2}(|\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{2}(2^2 + 2) = \frac{1}{2}(4 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$.

Ответ: 3

б) Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$

Выражение для вектора $\vec{AA_1}$ у нас уже есть: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь выразим вектор медианы $\vec{BB_1}$ через наши базисные векторы. Вектор $\vec{BB_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AB_1}$.Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, поэтому $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{BA} + \vec{AB_1} = -\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1}$:$\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = \left(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\right) \cdot \left(-\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\right)$.

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:$\frac{1}{2}\left((\vec{b} + \vec{c}) \cdot (-\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})\right) = \frac{1}{2}\left(-\vec{b}\cdot\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{b}\cdot\vec{c} - \vec{c}\cdot\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\cdot\vec{c}\right)$.

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{c}\cdot\vec{b}$), упростим выражение:$\frac{1}{2}\left(-|\vec{b}|^2 - \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{c}) + \frac{1}{2}|\vec{c}|^2\right)$.

Подставим известные значения $|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=2$ и $\vec{b}\cdot\vec{c}=2$:$\frac{1}{2}\left(-2^2 - \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{2}(2^2)\right) = \frac{1}{2}\left(-4 - 1 + \frac{1}{2}\cdot4\right) = \frac{1}{2}(-4 - 1 + 2) = \frac{1}{2}(-3) = -1.5$.

Ответ: -1.5