Номер 8, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В равностороннем треугольнике ABC со стороной 1 проведена высота CD (рис. 5.3). Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$;

г) $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$.

Рис. 5.3

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними, когда они отложены от одной точки.

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной 1. Это означает, что длины всех его сторон равны 1, а все внутренние углы равны $60^\circ$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{BC}| = 1$, и $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

$CD$ — высота, проведенная к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $CD$ перпендикулярна $AB$, точка $D$ — середина $AB$, а $CD$ делит угол $\angle C$ пополам. Отсюда $\angle ACD = \angle BCD = 30^\circ$ и $\angle CDA = 90^\circ$.

Найдем длину высоты $CD$ из прямоугольного треугольника $ADC$ по теореме Пифагора: $|CD|^2 = |AC|^2 - |AD|^2$. Так как $D$ — середина $AB$, то $|AD| = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}$. Получаем: $|CD|^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $|\vec{CD}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем скалярные произведения для каждой пары векторов.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. Угол между ними — это угол при вершине $A$, то есть $\alpha = \angle CAB = 60^\circ$. Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{AC}| = 1$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$, их нужно отложить от одной точки. Рассмотрим векторы, выходящие из вершины $C$: $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Угол между ними равен $\angle ACB = 60^\circ$. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ направлены к одной точке $C$.

Связь между векторами: $\vec{AC} = -\vec{CA}$ и $\vec{BC} = -\vec{CB}$.

Тогда скалярное произведение равно: $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (-\vec{CA}) \cdot (-\vec{CB}) = \vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Вектор $\vec{CD}$ соответствует высоте, опущенной на сторону $AB$. По определению высоты, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AB$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равен $90^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

г) $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$, их нужно отложить от одной точки. Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ (оба исходят из точки $C$) равен $\angle BCD = 30^\circ$, так как $CD$ — биссектриса угла $\angle C$.

Вектор $\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{CB}$. Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$ равен $180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Тогда скалярное произведение равно: $\vec{BC} \cdot \vec{CD} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(150^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\cos(30^\circ)) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.