Номер 11, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

b) $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 5.5). Стороны клеток равны 1.

11. При каком угле между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ их скалярное произведение будет:

а) наибольшим;

б) наименьшим?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$,где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ являются постоянными положительными величинами (для ненулевых векторов), значение скалярного произведения зависит от значения $\cos(\alpha)$. Угол между векторами $\alpha$ может изменяться в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

а) наибольшим
Скалярное произведение будет наибольшим, когда множитель $\cos(\alpha)$ принимает свое максимальное значение. Максимальное значение функции косинуса равно 1. Это достигается, когда угол $\alpha = 0^\circ$.При таком угле векторы сонаправлены, то есть лежат на одной прямой (коллинеарны) и направлены в одну сторону. Скалярное произведение в этом случае равно произведению их длин: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
Ответ: скалярное произведение будет наибольшим при угле $0^\circ$.

б) наименьшим
Скалярное произведение будет наименьшим, когда множитель $\cos(\alpha)$ принимает свое минимальное значение. В диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ минимальное значение функции косинуса равно -1. Это достигается, когда угол $\alpha = 180^\circ$.При таком угле векторы противоположно направлены, то есть лежат на одной прямой (коллинеарны), но направлены в разные стороны. Скалярное произведение в этом случае будет отрицательным и равным $-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.
Ответ: скалярное произведение будет наименьшим при угле $180^\circ$.