Номер 14, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Используя векторы, докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим векторы его смежных сторон, выходящих из вершины $A$, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Сумма квадратов длин всех сторон параллелограмма равна:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Теперь выразим векторы диагоналей через векторы сторон $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Диагональ $\vec{d_1}$ совпадает с вектором $\vec{AC}$. По правилу сложения векторов (правилу параллелограмма):

$\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Диагональ $\vec{d_2}$ совпадает с вектором $\vec{BD}$. По правилу вычитания векторов:

$\vec{d_2} = \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Найдем сумму квадратов длин диагоналей. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$d_1^2 + d_2^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2$.

Раскроем скалярные квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности для скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$.

Теперь сложим эти два выражения:

$d_1^2 + d_2^2 = (|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) + (|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2)$.

Члены с скалярным произведением $2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ и $-2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ взаимно уничтожаются:

$d_1^2 + d_2^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Мы получили, что сумма квадратов диагоналей $d_1^2 + d_2^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$ равна сумме квадратов всех сторон $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2$.

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$, где $a$ и $b$ - длины смежных сторон параллелограмма.