Номер 7, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 найдите скалярное произведение:

а) $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$;

б) $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$;

в) $\overline{AB}$ и $\overline{EF}$;

г) $\overline{AC}$ и $\overline{BE}$.

8. В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1 проведена

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами, когда их начала совмещены. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1, длина каждой стороны равна 1, а каждый внутренний угол равен $120^\circ$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$
Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{BC}| = 1$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ находится, если поместить их начала в одну точку. Этот угол является смежным с внутренним углом $\angle ABC$ и равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, скалярное произведение равно:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$
Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{CD}| = 1$. Чтобы найти угол между ними, рассмотрим последовательные повороты векторов сторон. Если вектор $\vec{AB}$ направлен вдоль оси Ox, то вектор $\vec{BC}$ повернут относительно него на внешний угол $60^\circ$. Вектор $\vec{CD}$ повернут еще на $60^\circ$ относительно $\vec{BC}$. Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ составляет $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$
Длины векторов $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{EF}| = 1$. В правильном шестиугольнике вектор стороны $\vec{EF}$ параллелен вектору стороны $\vec{CB}$ и равен ему, то есть $\vec{EF} = \vec{CB}$. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, поэтому $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Следовательно, скалярное произведение можно выразить через произведение из пункта а):
$\vec{AB} \cdot \vec{EF} = \vec{AB} \cdot \vec{CB} = \vec{AB} \cdot (-\vec{BC}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{BC})$.
Так как $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$, то $\vec{AB} \cdot \vec{EF} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$
Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$, используя метод координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0)$, а вершину $B$ — в точку $(1,0)$. Тогда $\vec{AB} = (1, 0)$.
Координаты вершины $C$ найдем, прибавив к координатам точки $B$ вектор $\vec{BC}$, который имеет длину 1 и составляет угол $60^\circ$ с положительным направлением оси Ox:
$C = (1 + 1 \cdot \cos(60^\circ), 0 + 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (1 + \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Отсюда вектор $\vec{AC} = C - A = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Найдем координаты вершины $E$. Двигаясь по периметру:
$D = C + (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})$.
$E = D + (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ)) = (1 - 1, \sqrt{3} + 0) = (0, \sqrt{3})$.
Вектор $\vec{BE} = E - B = (0-1, \sqrt{3}-0) = (-1, \sqrt{3})$.
Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1, \sqrt{3}) = \frac{3}{2} \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$.
Ответ: $0$.