Страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(2; 1)$ и перпендикулярную прямой, задаваемой уравнением:

а) $x + y + 1 = 0;$

б) $2x - 3y + 4 = 0.$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку $A_0(2; 1)$ и перпендикулярна прямой, заданной уравнением $x + y + 1 = 0$.

Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$. Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором (перпендикулярным) к этой прямой.

Для данной прямой $x + y + 1 = 0$ коэффициенты при $x$ и $y$ равны $A=1$ и $B=1$. Следовательно, ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1)$.

Искомая прямая должна быть перпендикулярна данной. Это означает, что нормальный вектор искомой прямой, назовем его $\vec{n_2}$, должен быть перпендикулярен вектору $\vec{n_1}$. Для нахождения координат вектора, перпендикулярного данному, достаточно поменять его координаты местами и изменить знак одной из них. Таким образом, если $\vec{n_1} = (1, 1)$, то $\vec{n_2}$ может быть $(1, -1)$ или $(-1, 1)$. Выберем $\vec{n_2} = (1, -1)$.

Теперь мы знаем, что искомая прямая проходит через точку $A_0(x_0, y_0) = (2, 1)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n_2} = (A, B) = (1, -1)$. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$.

Подставляем известные значения:

$1 \cdot (x - 2) + (-1) \cdot (y - 1) = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

$x - 2 - y + 1 = 0$

$x - y - 1 = 0$

Ответ: $x - y - 1 = 0$.

б)

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через ту же точку $A_0(2; 1)$, но перпендикулярной прямой $2x - 3y + 4 = 0$.

Действуем по той же схеме. Сначала находим нормальный вектор данной прямой. Для прямой $2x - 3y + 4 = 0$ коэффициенты $A=2$ и $B=-3$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, -3)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ искомой прямой должен быть перпендикулярен вектору $\vec{n_1}$. Меняем координаты $\vec{n_1}$ местами и меняем знак одной из них: $\vec{n_2} = (3, 2)$.

Используем уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(x_0, y_0) = (2, 1)$ с нормальным вектором $\vec{n_2} = (A, B) = (3, 2)$:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

$3(x - 2) + 2(y - 1) = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$3x - 6 + 2y - 2 = 0$

$3x + 2y - 8 = 0$

Ответ: $3x + 2y - 8 = 0$.

11. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M(-2; 1)$ и перпендикулярной прямой:

а) $2x + y - 1 = 0$; б) $x - 2y + 1 = 0$.

а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной другой прямой, можно использовать свойство нормальных векторов. Для прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вектор $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором (перпендикулярным к прямой).Данная прямая имеет уравнение $2x + y - 1 = 0$. Её нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 1)$.Искомая прямая перпендикулярна данной, значит, нормальный вектор данной прямой будет являться направляющим вектором для искомой прямой. То есть, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s_2} = (2, 1)$.Нормальный вектор искомой прямой $\vec{n_2}$ должен быть перпендикулярен её направляющему вектору $\vec{s_2}$. Можно взять $\vec{n_2} = (1, -2)$.Тогда уравнение искомой прямой будет иметь вид $1 \cdot x - 2 \cdot y + D = 0$, или $x - 2y + D = 0$.Поскольку прямая проходит через точку M(-2; 1), её координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим их, чтобы найти $D$:$(-2) - 2(1) + D = 0$$-2 - 2 + D = 0$$-4 + D = 0$$D = 4$.Таким образом, искомое уравнение прямой: $x - 2y + 4 = 0$.
Ответ: $x - 2y + 4 = 0$

б) Аналогично решим второй пункт. Дана прямая $x - 2y + 1 = 0$.Её нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, -2)$.Этот вектор будет направляющим для искомой перпендикулярной прямой: $\vec{s_2} = (1, -2)$.В качестве нормального вектора для искомой прямой $\vec{n_2}$ можно взять вектор, перпендикулярный $\vec{s_2}$, например, $\vec{n_2} = (2, 1)$.Тогда уравнение искомой прямой будет иметь вид $2x + 1 \cdot y + D = 0$, или $2x + y + D = 0$.Подставим координаты точки M(-2; 1) в это уравнение, чтобы найти $D$:$2(-2) + 1 + D = 0$$-4 + 1 + D = 0$$-3 + D = 0$$D = 3$.Таким образом, искомое уравнение прямой: $2x + y + 3 = 0$.
Ответ: $2x + y + 3 = 0$

12. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны:

1) $x+y-2=0, x+y+3=0;$

2) $x+y-2=0, x-y-3=0;$

3) $-7x+y=0, 7x-y+4=0;$

4) $4x-2y-8=0, -x-2y+4=0.$

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями вида $Ax + By + C = 0$, можно использовать их нормальные векторы $\vec{n} = (A, B)$.

Две прямые $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны, а сами прямые не совпадают. Условие выражается через пропорциональность коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Две прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны (перпендикулярны). Условие выражается через равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Проанализируем каждую из заданных пар прямых:

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, прямые перпендикулярны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = 4, B_1 = -2$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -4 + 4 = 0$.
Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, прямые перпендикулярны.

а)

Параллельными являются прямые из пар, для которых выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Согласно проведенному анализу, это пары под номерами 1 и 3.
Ответ: 1, 3.

б)

Перпендикулярными являются прямые из пар, для которых выполняется условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Согласно проведенному анализу, это пары под номерами 2 и 4.
Ответ: 2, 4.

13. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $A_0(3; -2)$ и параллельную прямой, заданной параметрическими уравнениями $$ \begin{cases} x = 2t, \\ y = 3t. \end{cases} $$

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид:

$ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} $

где $(x_0, y_0)$ — координаты точки, принадлежащей прямой, а $\vec{s} = (a, b)$ — направляющий вектор прямой, $t$ — параметр.

По условию задачи, искомая прямая проходит через точку $A_0(3; -2)$. Следовательно, в уравнениях мы можем принять $x_0 = 3$ и $y_0 = -2$.

Также известно, что искомая прямая параллельна прямой, заданной параметрическими уравнениями:

$ \begin{cases} x = 2t \\ y = 3t \end{cases} $

У параллельных прямых направляющие векторы коллинеарны (параллельны), поэтому в качестве направляющего вектора для искомой прямой можно взять направляющий вектор данной прямой. Координаты направляющего вектора — это коэффициенты при параметре $t$. Для данной прямой направляющий вектор имеет координаты $\vec{s} = (2, 3)$.

Теперь, имея точку $A_0(3; -2)$ и направляющий вектор $\vec{s} = (2, 3)$, мы можем составить параметрические уравнения искомой прямой, подставив эти значения в общую формулу:

$ \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -2 + 3t \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -2 + 3t \end{cases} $

14. Движение точки по прямой описывается параметрическими уравнениями $${ \begin{cases} x = 1 + 3t, \\ y = 2 - 4t. \end{cases} }$$ Найдите скорость точки.

Движение точки на плоскости описывается параметрическими уравнениями $x = x(t)$ и $y = y(t)$, где $t$ — это время. В данном случае уравнения движения имеют вид:

$\begin{cases} x = 1 + 3t, \\ y = 2 - 4t. \end{cases}$

Скорость точки — это физическая величина, равная модулю вектора скорости. Вектор скорости $\vec{v}$ имеет компоненты $(v_x, v_y)$, которые являются производными от соответствующих координат по времени $t$:

$v_x = x'(t) = \frac{dx}{dt}$

$v_y = y'(t) = \frac{dy}{dt}$

Найдем эти компоненты:

$v_x = \frac{d}{dt}(1 + 3t) = 3$

$v_y = \frac{d}{dt}(2 - 4t) = -4$

Таким образом, вектор скорости точки равен $\vec{v} = (3, -4)$. Он не зависит от времени, следовательно, движение является равномерным.

Модуль вектора скорости (скорость точки) вычисляется по формуле:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Подставим найденные значения компонент скорости в эту формулу:

$v = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

15. Найдите расстояние от точки $A_0(4; 3)$ до прямой:

а) $x + y + 3 = 0;$

б) $3x + 4y - 4 = 0.$

Для нахождения расстояния от точки $M(x_0; y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В данной задаче нам дана точка $A_0(4; 3)$, следовательно, $x_0 = 4$ и $y_0 = 3$.

а)

Рассмотрим прямую, заданную уравнением $x + y + 3 = 0$.

Для этого уравнения коэффициенты равны: $A = 1$, $B = 1$, $C = 3$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для нахождения расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$d = \frac{|4 + 3 + 3|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|10|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив дробь на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:

$d = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$.

б)

Рассмотрим прямую, заданную уравнением $3x + 4y - 4 = 0$.

Для этого уравнения коэффициенты равны: $A = 3$, $B = 4$, $C = -4$.

Подставим значения в формулу для нахождения расстояния:

$d = \frac{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$d = \frac{|12 + 12 - 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|20|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

Ответ: 4.

16. Точка $H(2; -1)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат $O$ на прямую. Напишите уравнение этой прямой.

Пусть искомая прямая называется $l$. По условию задачи, точка $H(2; -1)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат $O(0; 0)$ на прямую $l$. Это означает, что, во-первых, точка $H$ лежит на прямой $l$, и, во-вторых, отрезок $OH$ перпендикулярен прямой $l$.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется ее нормальным вектором. В данном случае вектор $\vec{OH}$ является нормальным вектором для искомой прямой.

1. Найдем координаты нормального вектора $\vec{n}$. Они равны координатам вектора $\vec{OH}$, которые вычисляются как разность координат конца (точки H) и начала (точки O):
$\vec{n} = \vec{OH} = (2 - 0; -1 - 0) = (2; -1)$.

2. Общее уравнение прямой, имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B)$, имеет вид $Ax + By + C = 0$.
Для нашей прямой коэффициенты $A=2$ и $B=-1$. Подставив их, получаем уравнение:
$2x + (-1)y + C = 0$
$2x - y + C = 0$.

3. Чтобы найти неизвестный коэффициент $C$, используем тот факт, что прямая проходит через точку $H(2; -1)$. Подставим ее координаты ($x=2, y=-1$) в уравнение прямой:
$2 \cdot (2) - (-1) + C = 0$
$4 + 1 + C = 0$
$5 + C = 0$
$C = -5$.

4. Теперь, зная все коэффициенты, запишем итоговое уравнение прямой:
$2x - y - 5 = 0$.

Ответ: $2x - y - 5 = 0$.

17. Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $x - y - 1 = 0$, $x + y + 3 = 0$;

б) $x - 3y + 2 = 0$, $2x - 5y + 1 = 0$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $(x, y)$ точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y + 3 = 0 \end{cases}$

Для удобства решения перенесем свободные члены в правую часть:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = -3 \end{cases}$

Используем метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y) + (x + y) = 1 + (-3)$

$2x = -2$

$x = -1$

Теперь подставим найденное значение $x = -1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Подставим во второе уравнение:

$-1 + y + 3 = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Координаты точки пересечения — $(-1, -2)$.

Проверка:
Для первой прямой: $(-1) - (-2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Верно.
Для второй прямой: $(-1) + (-2) + 3 = -3 + 3 = 0$. Верно.
Ответ: $(-1, -2)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3y + 2 = 0 \\ 2x - 5y + 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему:

$\begin{cases} x - 3y = -2 \\ 2x - 5y = -1 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y - 2$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2(3y - 2) - 5y = -1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$6y - 4 - 5y = -1$

$y - 4 = -1$

$y = 3$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 3$ в выражение $x = 3y - 2$:

$x = 3(3) - 2$

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Координаты точки пересечения — $(7, 3)$.

Проверка:
Для первой прямой: $7 - 3(3) + 2 = 7 - 9 + 2 = 0$. Верно.
Для второй прямой: $2(7) - 5(3) + 1 = 14 - 15 + 1 = 0$. Верно.
Ответ: $(7, 3)$.

18. Нарисуйте какой-нибудь вектор $\bar{a}$ и какой-нибудь отрезок $AB$.

Отложите от концов этого отрезка вектор $\bar{a}$. Концы полученных векторов обозначьте соответственно $A'$ и $B'$.

Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Построение и анализ

Согласно условию задачи, мы начинаем с произвольного вектора $\vec{a}$ и произвольного отрезка $AB$.

Затем мы откладываем вектор $\vec{a}$ от каждого из концов отрезка $AB$.

1. Отложить вектор $\vec{a}$ от точки $A$ — это значит найти такую точку $A'$, что вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{a}$. То есть, $\vec{AA'} = \vec{a}$.

2. Отложить вектор $\vec{a}$ от точки $B$ — это значит найти такую точку $B'$, что вектор $\vec{BB'}$ равен вектору $\vec{a}$. То есть, $\vec{BB'} = \vec{a}$.

Таким образом, мы получили две пары точек: $(A, A')$ и $(B, B')$, и два новых вектора, равных исходному вектору $\vec{a}$. Операция, которую мы выполнили, является параллельным переносом точек $A$ и $B$ на вектор $\vec{a}$.

Что можно сказать об отрезке A'B'?

Чтобы проанализировать связь между отрезками $AB$ и $A'B'$, рассмотрим векторы, которые они образуют: $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$.

Выразим вектор $\vec{A'B'}$ через другие векторы, используя правило многоугольника (или правило замыкания векторной цепи):

$\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'}$

Из нашего построения мы знаем, что:

$\vec{BB'} = \vec{a}$

А также $\vec{AA'} = \vec{a}$, следовательно, вектор $\vec{A'A}$ противоположен вектору $\vec{AA'}$:

$\vec{A'A} = -\vec{AA'} = -\vec{a}$

Теперь подставим эти значения в наше уравнение:

$\vec{A'B'} = (-\vec{a}) + \vec{AB} + \vec{a}$

Сгруппировав векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$, получим:

$\vec{A'B'} = \vec{AB} + (\vec{a} - \vec{a}) = \vec{AB} + \vec{0}$

$\vec{A'B'} = \vec{AB}$

Равенство векторов $\vec{A'B'} = \vec{AB}$ означает, что они имеют одинаковое направление и одинаковую длину (модуль). Из этого следует:

1. Длина отрезка $A'B'$ равна длине отрезка $AB$. То есть, $|A'B'| = |AB|$.

2. Отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$ (или лежит с ним на одной прямой, если вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$).

3. Отрезки $AB$ и $A'B'$ сонаправлены.

Геометрически, четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $AA'$ и $BB'$ параллельны (поскольку векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (поскольку модули векторов равны $|\vec{a}|$). В параллелограмме противоположные стороны $AB$ и $A'B'$ также параллельны и равны по длине.

Ответ: Отрезок $A'B'$ получается из отрезка $AB$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{a}$. Следовательно, отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$, равен ему по длине и сонаправлен с ним. В виде векторов это записывается как $\vec{A'B'} = \vec{AB}$.