Номер 11, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M(-2; 1)$ и перпендикулярной прямой:

а) $2x + y - 1 = 0$; б) $x - 2y + 1 = 0$.

а) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной другой прямой, можно использовать свойство нормальных векторов. Для прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вектор $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором (перпендикулярным к прямой).Данная прямая имеет уравнение $2x + y - 1 = 0$. Её нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 1)$.Искомая прямая перпендикулярна данной, значит, нормальный вектор данной прямой будет являться направляющим вектором для искомой прямой. То есть, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s_2} = (2, 1)$.Нормальный вектор искомой прямой $\vec{n_2}$ должен быть перпендикулярен её направляющему вектору $\vec{s_2}$. Можно взять $\vec{n_2} = (1, -2)$.Тогда уравнение искомой прямой будет иметь вид $1 \cdot x - 2 \cdot y + D = 0$, или $x - 2y + D = 0$.Поскольку прямая проходит через точку M(-2; 1), её координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим их, чтобы найти $D$:$(-2) - 2(1) + D = 0$$-2 - 2 + D = 0$$-4 + D = 0$$D = 4$.Таким образом, искомое уравнение прямой: $x - 2y + 4 = 0$.
Ответ: $x - 2y + 4 = 0$

б) Аналогично решим второй пункт. Дана прямая $x - 2y + 1 = 0$.Её нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, -2)$.Этот вектор будет направляющим для искомой перпендикулярной прямой: $\vec{s_2} = (1, -2)$.В качестве нормального вектора для искомой прямой $\vec{n_2}$ можно взять вектор, перпендикулярный $\vec{s_2}$, например, $\vec{n_2} = (2, 1)$.Тогда уравнение искомой прямой будет иметь вид $2x + 1 \cdot y + D = 0$, или $2x + y + D = 0$.Подставим координаты точки M(-2; 1) в это уравнение, чтобы найти $D$:$2(-2) + 1 + D = 0$$-4 + 1 + D = 0$$-3 + D = 0$$D = 3$.Таким образом, искомое уравнение прямой: $2x + y + 3 = 0$.
Ответ: $2x + y + 3 = 0$