Номер 18, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Нарисуйте какой-нибудь вектор $\bar{a}$ и какой-нибудь отрезок $AB$.

Отложите от концов этого отрезка вектор $\bar{a}$. Концы полученных векторов обозначьте соответственно $A'$ и $B'$.

Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Построение и анализ

Согласно условию задачи, мы начинаем с произвольного вектора $\vec{a}$ и произвольного отрезка $AB$.

Затем мы откладываем вектор $\vec{a}$ от каждого из концов отрезка $AB$.

1. Отложить вектор $\vec{a}$ от точки $A$ — это значит найти такую точку $A'$, что вектор $\vec{AA'}$ равен вектору $\vec{a}$. То есть, $\vec{AA'} = \vec{a}$.

2. Отложить вектор $\vec{a}$ от точки $B$ — это значит найти такую точку $B'$, что вектор $\vec{BB'}$ равен вектору $\vec{a}$. То есть, $\vec{BB'} = \vec{a}$.

Таким образом, мы получили две пары точек: $(A, A')$ и $(B, B')$, и два новых вектора, равных исходному вектору $\vec{a}$. Операция, которую мы выполнили, является параллельным переносом точек $A$ и $B$ на вектор $\vec{a}$.

Что можно сказать об отрезке A'B'?

Чтобы проанализировать связь между отрезками $AB$ и $A'B'$, рассмотрим векторы, которые они образуют: $\vec{AB}$ и $\vec{A'B'}$.

Выразим вектор $\vec{A'B'}$ через другие векторы, используя правило многоугольника (или правило замыкания векторной цепи):

$\vec{A'B'} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BB'}$

Из нашего построения мы знаем, что:

$\vec{BB'} = \vec{a}$

А также $\vec{AA'} = \vec{a}$, следовательно, вектор $\vec{A'A}$ противоположен вектору $\vec{AA'}$:

$\vec{A'A} = -\vec{AA'} = -\vec{a}$

Теперь подставим эти значения в наше уравнение:

$\vec{A'B'} = (-\vec{a}) + \vec{AB} + \vec{a}$

Сгруппировав векторы $\vec{a}$ и $-\vec{a}$, получим:

$\vec{A'B'} = \vec{AB} + (\vec{a} - \vec{a}) = \vec{AB} + \vec{0}$

$\vec{A'B'} = \vec{AB}$

Равенство векторов $\vec{A'B'} = \vec{AB}$ означает, что они имеют одинаковое направление и одинаковую длину (модуль). Из этого следует:

1. Длина отрезка $A'B'$ равна длине отрезка $AB$. То есть, $|A'B'| = |AB|$.

2. Отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$ (или лежит с ним на одной прямой, если вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{AB}$).

3. Отрезки $AB$ и $A'B'$ сонаправлены.

Геометрически, четырехугольник $ABB'A'$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $AA'$ и $BB'$ параллельны (поскольку векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ коллинеарны и сонаправлены) и равны по длине (поскольку модули векторов равны $|\vec{a}|$). В параллелограмме противоположные стороны $AB$ и $A'B'$ также параллельны и равны по длине.

Ответ: Отрезок $A'B'$ получается из отрезка $AB$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{a}$. Следовательно, отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$, равен ему по длине и сонаправлен с ним. В виде векторов это записывается как $\vec{A'B'} = \vec{AB}$.