Номер 17, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $x - y - 1 = 0$, $x + y + 3 = 0$;

б) $x - 3y + 2 = 0$, $2x - 5y + 1 = 0$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $(x, y)$ точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ x + y + 3 = 0 \end{cases}$

Для удобства решения перенесем свободные члены в правую часть:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = -3 \end{cases}$

Используем метод сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y) + (x + y) = 1 + (-3)$

$2x = -2$

$x = -1$

Теперь подставим найденное значение $x = -1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Подставим во второе уравнение:

$-1 + y + 3 = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Координаты точки пересечения — $(-1, -2)$.

Проверка:
Для первой прямой: $(-1) - (-2) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Верно.
Для второй прямой: $(-1) + (-2) + 3 = -3 + 3 = 0$. Верно.
Ответ: $(-1, -2)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3y + 2 = 0 \\ 2x - 5y + 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему:

$\begin{cases} x - 3y = -2 \\ 2x - 5y = -1 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 3y - 2$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$2(3y - 2) - 5y = -1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$6y - 4 - 5y = -1$

$y - 4 = -1$

$y = 3$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 3$ в выражение $x = 3y - 2$:

$x = 3(3) - 2$

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Координаты точки пересечения — $(7, 3)$.

Проверка:
Для первой прямой: $7 - 3(3) + 2 = 7 - 9 + 2 = 0$. Верно.
Для второй прямой: $2(7) - 5(3) + 1 = 14 - 15 + 1 = 0$. Верно.
Ответ: $(7, 3)$.