Номер 12, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны:

1) $x+y-2=0, x+y+3=0;$

2) $x+y-2=0, x-y-3=0;$

3) $-7x+y=0, 7x-y+4=0;$

4) $4x-2y-8=0, -x-2y+4=0.$

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями вида $Ax + By + C = 0$, можно использовать их нормальные векторы $\vec{n} = (A, B)$.

Две прямые $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны, а сами прямые не совпадают. Условие выражается через пропорциональность коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Две прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны (перпендикулярны). Условие выражается через равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Проанализируем каждую из заданных пар прямых:

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = 1, B_1 = 1$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = 1, B_2 = -1$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, прямые перпендикулярны.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.
Проверим условие параллельности: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые параллельны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$.
Коэффициенты первой прямой: $A_1 = 4, B_1 = -2$.
Коэффициенты второй прямой: $A_2 = -1, B_2 = -2$.
Проверим условие перпендикулярности: $A_1A_2 + B_1B_2 = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -4 + 4 = 0$.
Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, прямые перпендикулярны.

а)

Параллельными являются прямые из пар, для которых выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Согласно проведенному анализу, это пары под номерами 1 и 3.
Ответ: 1, 3.

б)

Перпендикулярными являются прямые из пар, для которых выполняется условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Согласно проведенному анализу, это пары под номерами 2 и 4.
Ответ: 2, 4.