Номер 5, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $M(-1; 3)$, $N(1; 4)$. Найдите координаты вектора нормали этой прямой.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M(-1; 3), N(1; 4)

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты данных точек $M(-1; 3)$ и $N(1; 4)$ в формулу, где $x_1 = -1, y_1 = 3$ и $x_2 = 1, y_2 = 4$:

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

Упростим выражение:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{1}$

Это каноническое уравнение прямой. Чтобы получить общее уравнение прямой вида $Ax + By + C = 0$, преобразуем полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:

$1 \cdot (x + 1) = 2 \cdot (y - 3)$

$x + 1 = 2y - 6$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x - 2y + 1 + 6 = 0$

$x - 2y + 7 = 0$

Ответ: $x - 2y + 7 = 0$.

Найдите координаты вектора нормали этой прямой

Вектор нормали $\vec{n}$ (или нормальный вектор) — это вектор, перпендикулярный данной прямой. Для прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вектор с координатами $(A; B)$ является ее вектором нормали.

Из первой части задачи мы получили общее уравнение прямой: $x - 2y + 7 = 0$.

В этом уравнении коэффициенты при $x$ и $y$ равны:

$A = 1$

$B = -2$

Следовательно, координаты вектора нормали этой прямой есть $\vec{n} = (1; -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.