Номер 9, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $2x + y - 1 = 0$, $x - 2y + 3 = 0$;

б) $x + y + 1 = 0$, $x - y - 1 = 0$.

Нарисуйте эти прямые.

a)

Для нахождения угла между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, можно использовать их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Угол $\alpha$ между прямыми будет равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Рассмотрим первую пару прямых:
$L_1: 2x + y - 1 = 0$
$L_2: x - 2y + 3 = 0$

Нормальные векторы к этим прямым:
$\vec{n_1} = (2, 1)$
$\vec{n_2} = (1, -2)$

Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые перпендикулярны, а угол между ними составляет $90^\circ$.

Для построения графика каждой прямой найдем по две точки, принадлежащие ей.
Для прямой $2x + y - 1 = 0$:
- при $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$.
- при $y=0$, $2x=1 \implies x=0.5$. Точка $(0.5, 0)$.

Для прямой $x - 2y + 3 = 0$:
- при $x=0$, $-2y=-3 \implies y=1.5$. Точка $(0, 1.5)$.
- при $y=0$, $x=-3$. Точка $(-3, 0)$.

График прямых:

Ответ: $90^\circ$

б)

Аналогично пункту а), найдем угол между прямыми $x + y + 1 = 0$ и $x - y - 1 = 0$.

Рассмотрим вторую пару прямых:
$L_1: x + y + 1 = 0$
$L_2: x - y - 1 = 0$

Нормальные векторы к этим прямым:
$\vec{n_1} = (1, 1)$
$\vec{n_2} = (1, -1)$

Найдем скалярное произведение этих векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$

Скалярное произведение снова равно нулю, что означает, что прямые перпендикулярны. Угол между ними составляет $90^\circ$.

Для построения графика каждой прямой найдем по две точки.
Для прямой $x + y + 1 = 0$:
- при $x=0$, $y=-1$. Точка $(0, -1)$.
- при $y=0$, $x=-1$. Точка $(-1, 0)$.

Для прямой $x - y - 1 = 0$:
- при $x=0$, $-y=1 \implies y=-1$. Точка $(0, -1)$.
- при $y=0$, $x=1$. Точка $(1, 0)$.

График прямых:

Ответ: $90^\circ$