Номер 10, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(2; 1)$ и перпендикулярную прямой, задаваемой уравнением:

а) $x + y + 1 = 0;$

б) $2x - 3y + 4 = 0.$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку $A_0(2; 1)$ и перпендикулярна прямой, заданной уравнением $x + y + 1 = 0$.

Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$. Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором (перпендикулярным) к этой прямой.

Для данной прямой $x + y + 1 = 0$ коэффициенты при $x$ и $y$ равны $A=1$ и $B=1$. Следовательно, ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1)$.

Искомая прямая должна быть перпендикулярна данной. Это означает, что нормальный вектор искомой прямой, назовем его $\vec{n_2}$, должен быть перпендикулярен вектору $\vec{n_1}$. Для нахождения координат вектора, перпендикулярного данному, достаточно поменять его координаты местами и изменить знак одной из них. Таким образом, если $\vec{n_1} = (1, 1)$, то $\vec{n_2}$ может быть $(1, -1)$ или $(-1, 1)$. Выберем $\vec{n_2} = (1, -1)$.

Теперь мы знаем, что искомая прямая проходит через точку $A_0(x_0, y_0) = (2, 1)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n_2} = (A, B) = (1, -1)$. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$.

Подставляем известные значения:

$1 \cdot (x - 2) + (-1) \cdot (y - 1) = 0$

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

$x - 2 - y + 1 = 0$

$x - y - 1 = 0$

Ответ: $x - y - 1 = 0$.

б)

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через ту же точку $A_0(2; 1)$, но перпендикулярной прямой $2x - 3y + 4 = 0$.

Действуем по той же схеме. Сначала находим нормальный вектор данной прямой. Для прямой $2x - 3y + 4 = 0$ коэффициенты $A=2$ и $B=-3$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, -3)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ искомой прямой должен быть перпендикулярен вектору $\vec{n_1}$. Меняем координаты $\vec{n_1}$ местами и меняем знак одной из них: $\vec{n_2} = (3, 2)$.

Используем уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(x_0, y_0) = (2, 1)$ с нормальным вектором $\vec{n_2} = (A, B) = (3, 2)$:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

$3(x - 2) + 2(y - 1) = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$3x - 6 + 2y - 2 = 0$

$3x + 2y - 8 = 0$

Ответ: $3x + 2y - 8 = 0$.