Проверь себя!, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько различных векторов задают стороны треугольника:
А) 1; В) 2; С) 3; D) 6?

2. Сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна 1. Найдите длину вектора $\overline{BE}$:
А) 1; В) 2; С) $\sqrt{3}$; D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Сторона равностороннего треугольника $KLM$ равна $a$. Найдите $|\overline{KL} + \overline{KM}|$:
А) $a$; В) $a\sqrt{2}$; С) $a\sqrt{3}$; D) $a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) стороны $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. Найдите $|\overline{AC} - \overline{BC}|$:
А) 10 см; В) 14 см; С) 8 см; D) 6 см.

5. Упростите выражение $\overline{AB} - \overline{FH} + \overline{EH} - \overline{CB} + \overline{CE}$:
А) $\overline{AE}$; В) $\overline{AF}$; С) $\overline{HE}$; D) $\overline{AH}$.

6. В треугольнике $ABC$ точка $D$ — середина стороны $BC$. Выразите вектор $\overline{AD}$ через векторы $\overline{b} = \overline{AB}$ и $\overline{c} = \overline{AC}$:
А) $\overline{b} - \overline{c}$; В) $\overline{b} + \overline{c}$; С) $\frac{\overline{b} - \overline{c}}{2}$; D) $\frac{\overline{b} + \overline{c}}{2}$.

7. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $CD$. Выразите вектор $\overline{AE}$ через векторы $\overline{b} = \overline{AB}$ и $\overline{d} = \overline{AD}$:
А) $0,5\overline{b} - \overline{d}$; В) $\overline{b} + 0,5\overline{d}$; С) $0,5\overline{b} + \overline{d}$; D) $\overline{b} - 0,5\overline{d}$.

8. Найдите координаты вектора $\overline{PQ}$, если $P(1; -3)$ и $Q(3; -1)$:
А) (2; 1); В) (2; 2); С) (2; -2); D) (1; 2).

9. Вектор $\overline{AC}$ имеет координаты (9; -12). Найдите координаты точки $C$, если $A(-6; 5)$:
А) (3; -7); В) (-3; -7); С) (-3; 7); D) (3; 7).

10. Найдите длину вектора $\overline{m}(3; -4)$:
А) 3; В) 4; С) 5; D) 10.

11. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$, стороны которого равны 1, найдите длину вектора $\overline{BF}$:
А) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; В) $\sqrt{3}$; С) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; D) $\sqrt{2}$.

12. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ найдите угол между векторами $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$:
А) $30^\circ$; В) $45^\circ$; С) $60^\circ$; D) $90^\circ$.

13. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$, стороны которого равны 1, найдите скалярное произведение векторов $\overline{BC}$ и $\overline{DE}$:
А) -1; В) -0,5; С) 0,5; D) 1.

14. Найдите скалярное произведение векторов $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$, если $A(0; -5)$, $B(3; 6)$, $C(-8; 10)$:
А) 44; В) 33; С) 22; D) 11.

15. Найдите угол между векторами $\overline{a}(1; 3)$ и $\overline{b}(2; 1)$:
А) $30^\circ$; В) $45^\circ$; С) $90^\circ$; D) $135^\circ$.

16. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A_0(2; -3)$, и вектором нормали $\overline{n}(1; -2)$:
А) $-x + 2y - 8 = 0$; В) $x - 2y + 8 = 0$;
С) $x - 2y - 8 = 0$; D) $x + 2y + 8 = 0$.

17. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки $A_1(2; 0)$, $A_2(0; -3)$:
А) $3x + 2y - 6 = 0$; В) $3x - 2y - 6 = 0$;
С) $2x + 3y - 6 = 0$; D) $2x - 3y - 6 = 0$.

18. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A_1(2; 1)$ и параллельной прямой $x - 2y - 3 = 0$:
А) $x + 2y - 4 = 0$; В) $x - 2y + 4 = 0$;
С) $2x + y - 5 = 0$; D) $x - 2y = 0$.

19. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A_1(2; 3)$ и перпендикулярной прямой $2x - y - 1 = 0$:
А) $x + 2y - 8 = 0$; В) $x - 2y + 4 = 0$;
С) $2x + y - 7 = 0$; D) $x - 2y + 4 = 0$.

20. Найдите расстояние от начала координат до прямой $3x + 4y = 12$:
А) 1; В) 2; С) 2,4; D) 3,6.

1. Стороны треугольника (например, $AB, BC, CA$) определяют 3 отрезка. Каждый отрезок может задавать два противоположно направленных вектора (например, $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$). Таким образом, три стороны треугольника задают $3 \times 2 = 6$ различных векторов: $\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{CB}, \vec{CA}, \vec{AC}$.

Ответ: D) 6.

2. В правильном шестиугольнике большая диагональ, соединяющая противолежащие вершины (такая как $BE$), проходит через центр шестиугольника и ее длина в два раза больше длины стороны. Сторона шестиугольника равна 1. Следовательно, длина диагонали $BE$ равна $2 \times 1 = 2$. Длина вектора $\vec{BE}$ равна длине отрезка $BE$.

Ответ: B) 2.

3. Сумма векторов $\vec{KL} + \vec{KM}$ может быть найдена по правилу параллелограмма. Модуль этой суммы равен длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\vec{KL}$ и $\vec{KM}$. Угол между этими векторами равен углу равностороннего треугольника, то есть $\angle LKM = 60^\circ$. По теореме косинусов для диагонали параллелограмма:

$|\vec{KL} + \vec{KM}|^2 = |\vec{KL}|^2 + |\vec{KM}|^2 + 2|\vec{KL}||\vec{KM}|\cos(60^\circ)$.

Так как $|\vec{KL}| = |\vec{KM}| = a$, получаем:

$|\vec{KL} + \vec{KM}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.

Следовательно, $|\vec{KL} + \vec{KM}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Ответ: C) $a\sqrt{3}$.

4. Разность векторов $\vec{AC} - \vec{BC}$ можно представить как $\vec{AC} + (-\vec{BC})$. Вектор $-\vec{BC}$ равен вектору $\vec{CB}$. Тогда искомое выражение равно $\vec{AC} + \vec{CB}$. По правилу сложения векторов (правило треугольника), $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$. Следовательно, нам нужно найти длину вектора $\vec{AB}$, что соответствует длине гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. По теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: A) 10 см.

5. Для упрощения выражения воспользуемся правилами действий с векторами. Заметим, что $-\vec{FH} = \vec{HF}$ и $-\vec{CB} = \vec{BC}$.

$\vec{AB} - \vec{FH} + \vec{EH} - \vec{CB} + \vec{CE} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CE} + \vec{EH} + \vec{HF}$.

Применяя правило цепи (правило многоугольника) для сложения векторов, получаем:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CE} + \vec{EH} + \vec{HF} = \vec{AC} + \vec{CE} + \vec{EH} + \vec{HF} = \vec{AE} + \vec{EH} + \vec{HF} = \vec{AH} + \vec{HF} = \vec{AF}$.

Ответ: B) $\vec{AF}$.

6. Вектор $\vec{AD}$ является медианой треугольника $ABC$. Вектор медианы, проведенной из вершины $A$, выражается через векторы сторон, выходящих из этой же вершины, по формуле: $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$. Подставляя данные обозначения $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{c} = \vec{AC}$, получаем:

$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.

Ответ: D) $\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.

7. Чтобы выразить вектор $\vec{AE}$, представим его в виде суммы векторов: $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$. Так как $E$ — середина стороны $CD$, то $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{DC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{DC} = \vec{AB}$. Подставляя заданные обозначения $\vec{b} = \vec{AB}$ и $\vec{d} = \vec{AD}$, имеем:

$\vec{AE} = \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b} = 0,5\vec{b} + \vec{d}$.

Ответ: C) $0,5\vec{b} + \vec{d}$.

8. Координаты вектора $\vec{PQ}$ находятся как разность координат его конца $Q(x_2; y_2)$ и начала $P(x_1; y_1)$: $\vec{PQ} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Для $P(1; –3)$ и $Q(3; –1)$ имеем:

$\vec{PQ} = (3 - 1; -1 - (-3)) = (2; 2)$.

Ответ: B) (2; 2).

9. Пусть точка $C$ имеет координаты $(x_C; y_C)$. Координаты вектора $\vec{AC}$ равны $(x_C - x_A; y_C - y_A)$. Нам известно, что $\vec{AC} = (9; –12)$ и $A(–6; 5)$.

$x_C - (-6) = 9 \implies x_C + 6 = 9 \implies x_C = 3$.

$y_C - 5 = -12 \implies y_C = -12 + 5 = -7$.

Координаты точки $C$ равны $(3; -7)$.

Ответ: A) (3; –7).

10. Длина (модуль) вектора $\vec{m}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для вектора $\vec{m}(3; –4)$ имеем:

$|\vec{m}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: C) 5.

11. Длина вектора $\vec{BF}$ равна длине отрезка $BF$, который является малой диагональю правильного шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Поскольку сторона равна 1, длина $BF$ равна $1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: B) $\sqrt{3}$.

12. Расположим центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ в начале координат $(0,0)$, а вершину $A$ на оси $Ox$, $A(a,0)$, где $a$ - сторона шестиугольника. Тогда координаты вершин: $A(a,0)$, $B(a\cos60^\circ, a\sin60^\circ) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$, $C(a\cos120^\circ, a\sin120^\circ) = (-a/2, a\sqrt{3}/2)$, $D(a\cos180^\circ, a\sin180^\circ) = (-a, 0)$.

Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} = C - A = (-a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0) = (-3a/2, a\sqrt{3}/2)$.

$\vec{BD} = D - B = (-a - a/2, 0 - a\sqrt{3}/2) = (-3a/2, -a\sqrt{3}/2)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами: $\cos\theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-\frac{3a}{2})(-\frac{3a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{a\sqrt{3}}{2}) = \frac{9a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}$.

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{12a^2}{4}} = a\sqrt{3}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-\frac{3a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2} = a\sqrt{3}$.

$\cos\theta = \frac{3a^2/2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{3a^2/2}{3a^2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, угол $\theta = 60^\circ$.

Ответ: C) 60°.

13. Скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{DE}$ равно произведению их длин на косинус угла между ними. Длины векторов $|\vec{BC}| = 1$ и $|\vec{DE}| = 1$. Вектор $\vec{DE}$ параллелен вектору $\vec{BA}$ (так как сторона $DE$ параллельна стороне $AB$ и они сонаправлены с $\vec{BA}$ и $\vec{DE}$). Угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ равен внутреннему углу шестиугольника при вершине B, то есть $120^\circ$. Таким образом, угол между $\vec{BC}$ и $\vec{DE}$ также равен $120^\circ$.

$\vec{BC} \cdot \vec{DE} = |\vec{BC}| \cdot |\vec{DE}| \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -0,5$.

Ответ: B) –0,5.

14. Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} = (3 - 0; 6 - (-5)) = (3; 11)$.

$\vec{BC} = (-8 - 3; 10 - 6) = (-11; 4)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot (-11) + 11 \cdot 4 = -33 + 44 = 11$.

Ответ: D) 11.

15. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 5$.

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

$\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

Ответ: B) 45°.

*16. Уравнение прямой, имеющей вектор нормали $\vec{n}(A; B)$, имеет вид $Ax + By + C = 0$. В нашем случае $\vec{n}(1; –2)$, поэтому $A=1, B=-2$. Уравнение прямой: $1x - 2y + C = 0$.

Прямая проходит через точку $A_0(2; –3)$. Подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $C$:

$1 \cdot 2 - 2 \cdot (–3) + C = 0 \implies 2 + 6 + C = 0 \implies 8 + C = 0 \implies C = -8$.

Искомое уравнение: $x - 2y - 8 = 0$.

Ответ: C) $x - 2y - 8 = 0$.

*17. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек $A_1(2; 0)$ и $A_2(0; –3)$:

$\frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 0}{-3 - 0} \implies \frac{x - 2}{-2} = \frac{y}{-3}$.

$-3(x - 2) = -2y \implies -3x + 6 = -2y \implies 3x - 2y - 6 = 0$.

Ответ: B) $3x - 2y - 6 = 0$.

*18. Параллельные прямые имеют одинаковые (или пропорциональные) векторы нормали. Уравнение прямой, параллельной прямой $Ax + By + C_1 = 0$, имеет вид $Ax + By + C_2 = 0$.

Для прямой $x - 2y - 3 = 0$ вектор нормали $\vec{n}(1; -2)$. Искомая прямая будет иметь вид $x - 2y + C = 0$.

Эта прямая проходит через точку $A_1(2; 1)$. Подставим ее координаты:

$2 - 2(1) + C = 0 \implies 2 - 2 + C = 0 \implies C = 0$.

Искомое уравнение: $x - 2y = 0$.

Ответ: D) $x - 2y = 0$.

*19. Вектор нормали данной прямой $2x - y - 1 = 0$ есть $\vec{n}_1(2; -1)$. Для перпендикулярной прямой этот вектор будет направляющим вектором. Вектор нормали для искомой прямой $\vec{n}_2$ должен быть перпендикулярен $\vec{n}_1$. Можно взять $\vec{n}_2(1; 2)$ (так как их скалярное произведение $2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 0$).

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $1x + 2y + C = 0$.

Прямая проходит через точку $A_1(2; 3)$. Подставим ее координаты:

$2 + 2(3) + C = 0 \implies 2 + 6 + C = 0 \implies 8 + C = 0 \implies C = -8$.

Искомое уравнение: $x + 2y - 8 = 0$.

Ответ: A) $x + 2y - 8 = 0$.

*20. Расстояние $d$ от точки $(x_0; y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Начало координат — это точка $(0; 0)$. Уравнение прямой $3x + 4y = 12$ перепишем в виде $3x + 4y - 12 = 0$. Здесь $A=3, B=4, C=-12$.

$d = \frac{|3(0) + 4(0) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2,4$.

Ответ: C) 2,4.