Вопросы, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется параллельным переносом?

2. Сохраняет ли параллельный перенос расстояние между точками?

3. Куда при параллельном переносе переходят отрезок, луч, прямая?

4. Сохраняет ли параллельный перенос величины углов?

1. Что называется параллельным переносом?

Параллельным переносом фигуры называется такое преобразование, при котором все точки этой фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Более формально, параллельный перенос на плоскости задается вектором $\vec{a}$. При этом каждая точка $M(x, y)$ переходит в точку $M'(x', y')$, такую что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$. Если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x, a_y)$, то координаты точки $M'$ вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
Это означает, что для любых двух точек $A$ и $B$ и их образов $A'$ и $B'$, полученных в результате одного и того же параллельного переноса, векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ равны.
Ответ: Параллельный перенос – это преобразование плоскости, при котором каждая точка $(x,y)$ переходит в точку $(x+a_x, y+a_y)$, где $(a_x, a_y)$ – это координаты вектора переноса.

2. Сохраняет ли параллельный перенос расстояние между точками?

Да, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками. Это означает, что параллельный перенос является движением (изометрией).
Докажем это. Пусть есть две точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, и параллельный перенос задан вектором $\vec{a}=(a_x, a_y)$. Точки $A$ и $B$ перейдут в точки $A'(x_1+a_x, y_1+a_y)$ и $B'(x_2+a_x, y_2+a_y)$.
Квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ равен:
$|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Найдем квадрат расстояния между их образами $A'$ и $B'$:
$|A'B'|^2 = ((x_2+a_x) - (x_1+a_x))^2 + ((y_2+a_y) - (y_1+a_y))^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Так как $|A'B'|^2 = |AB|^2$, то и расстояния $|A'B'|$ и $|AB|$ равны. Таким образом, расстояние между точками сохраняется.
Ответ: Да, сохраняет. Параллельный перенос является движением.

3. Куда при параллельном переносе переходят отрезок, луч, прямая?

Поскольку параллельный перенос является движением, он преобразует простейшие геометрические фигуры следующим образом:
- Отрезок переходит в равный ему отрезок. Если отрезок $AB$ переходит в отрезок $A'B'$, то $|AB| = |A'B'|$. Кроме того, отрезок $A'B'$ будет параллелен отрезку $AB$ (или лежать на той же прямой, если вектор переноса коллинеарен отрезку).
- Луч переходит в луч. Образ луча будет сонаправлен исходному лучу и параллелен ему (или лежать на той же прямой).
- Прямая переходит в прямую. Новая прямая будет параллельна исходной прямой. В частном случае, если вектор переноса параллелен прямой, то прямая переходит сама в себя.
Ответ: Отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок, луч — в сонаправленный и параллельный ему луч, а прямая — в параллельную ей прямую (или в саму себя).

4. Сохраняет ли параллельный перенос величины углов?

Да, параллельный перенос сохраняет величины углов. Это следует из того, что параллельный перенос является движением. Любое движение сохраняет углы.
Рассмотрим угол $\angle BAC$. При параллельном переносе его вершина $A$ перейдет в точку $A'$, а стороны, которые являются лучами $AB$ и $AC$, перейдут в сонаправленные и параллельные им лучи $A'B'$ и $A'C'$. Угол между двумя парами параллельных и сонаправленных лучей равен исходному, то есть $\angle B'A'C' = \angle BAC$.
Также это можно доказать, рассмотрев произвольный треугольник $\triangle ABC$. Так как параллельный перенос сохраняет расстояния (вопрос 2), то стороны треугольника $\triangle ABC$ будут равны соответствующим сторонам его образа $\triangle A'B'C'$. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов.
Ответ: Да, сохраняет, так как параллельный перенос является движением.