Номер 3, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. При каком условии существует параллельный перенос, переводящий один отрезок в другой?

Для того чтобы существовал параллельный перенос, переводящий один отрезок, назовем его $AB$, в другой, назовем его $CD$, необходимо и достаточно выполнения двух условий, которые вытекают из свойств самого параллельного переноса.

1. Сохранение расстояния.
Параллельный перенос является изометрией, то есть сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длина исходного отрезка должна быть равна длине отрезка, в который он переходит.
$|AB| = |CD|$

2. Сохранение направления.
При параллельном переносе любая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную ей прямую. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $AB$, должна быть параллельна прямой, содержащей отрезок $CD$. То есть отрезки должны быть параллельны или лежать на одной прямой.
$AB \parallel CD$

Таким образом, необходимое условие заключается в том, что отрезки должны быть равны по длине и параллельны.

Докажем, что это условие является и достаточным. Пусть отрезки $AB$ и $CD$ равны по длине и параллельны. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны и их длины равны. Возможны два случая:

1. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$.
Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{AC}$. Он переводит точку $A$ в точку $C$. Точка $B$ при этом переносе перейдет в такую точку $B'$, что $\vec{BB'} = \vec{AC}$. Покажем, что $B'$ совпадает с $D$. Из векторного равенства $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ и предположения $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует, что $\vec{AC} = \vec{CD} + \vec{BC}$. Вектор $\vec{BD}$ можно выразить как $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$. Сравнивая выражения, получаем $\vec{AC} = \vec{BD}$. Следовательно, перенос на вектор $\vec{AC}$ действительно переводит точку $B$ в точку $D$. Значит, весь отрезок $AB$ переходит в отрезок $CD$.

2. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ направлены противоположно, то есть $\vec{AB} = -\vec{CD}$ или, что эквивалентно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{u} = \vec{AD}$. Он переводит точку $A$ в точку $D$. Точка $B$ при этом переносе перейдет в такую точку $B'$, что $\vec{BB'} = \vec{AD}$. Покажем, что $B'$ совпадает с $C$. Из векторного равенства $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$ и предположения $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $\vec{AD} = \vec{DC} + \vec{BD}$. Вектор $\vec{BC}$ можно выразить как $\vec{BC} = \vec{BD} + \vec{DC}$. Сравнивая выражения, получаем $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, перенос на вектор $\vec{AD}$ действительно переводит точку $B$ в точку $C$. Значит, весь отрезок $AB$ переходит в отрезок $CD$.

В обоих возможных случаях такой параллельный перенос существует.

Ответ: Параллельный перенос, переводящий один отрезок в другой, существует тогда и только тогда, когда эти отрезки равны по длине и параллельны (или лежат на одной прямой).