Номер 6, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Для какого четырехугольника существует параллельный перенос, переводящий одну его сторону в другую?

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, которое сдвигает каждую точку фигуры на один и тот же заданный вектор. Ключевое свойство параллельного переноса заключается в том, что он переводит любой отрезок в равный ему по длине и параллельный ему отрезок.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$. Предположим, что существует параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, который переводит одну сторону этого четырехугольника, например сторону $AB$, в другую сторону, $DC$. Это означает, что при данном переносе конечные точки отрезка $AB$ переходят в конечные точки отрезка $DC$. Возможны два случая:

1. Точка $A$ переходит в $D$, а точка $B$ переходит в $C$.В этом случае вектор переноса $\vec{v}$ должен быть равен вектору $\vec{AD}$ и одновременно вектору $\vec{BC}$. Таким образом, мы получаем векторное равенство: $\vec{AD} = \vec{BC}$.Это равенство означает, что отрезки $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине ($AD \parallel BC$ и $|AD| = |BC|$). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. В этом случае стороны, которые переводятся одна в другую параллельным переносом (с вектором $\vec{AD}$), — это $AB$ и $DC$.

2. Точка $A$ переходит в $C$, а точка $B$ переходит в $D$.В этом случае вектор переноса $\vec{v}$ равен $\vec{AC}$ и одновременно $\vec{BD}$. То есть, $\vec{AC} = \vec{BD}$. Это условие означает, что диагонали четырехугольника параллельны и равны, что возможно только для вырожденного четырехугольника (вершины лежат на двух параллельных прямых, но образуют "перекрещенную" фигуру, которая не является простым многоугольником) или для параллелограмма. Однако, стандартно под "переводом стороны в сторону" понимают сохранение порядка вершин, как в первом случае.

Рассмотрим перенос смежных сторон. Если бы параллельный перенос переводил сторону $AB$ в смежную ей сторону $BC$, то точка $A$ перешла бы в $B$, а $B$ — в $C$. Тогда вектор переноса был бы $\vec{AB}$, и при этом должно было бы выполняться равенство $\vec{BC} = \vec{AB}$. Это означает, что точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, а четырехугольник является вырожденным.

Следовательно, условию задачи удовлетворяет четырехугольник, у которого есть пара параллельных и равных противоположных сторон. Такой четырехугольник по определению является параллелограммом.

Ответ: Для параллелограмма.