Номер 12, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что параллельный перенос переводит треугольник в равный ему треугольник.

Чтобы доказать, что параллельный перенос переводит треугольник в равный ему треугольник, мы должны показать, что у исходного и полученного треугольников соответствующие стороны равны. Равенство треугольников в этом случае будет следовать из третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое преобразование является движением (или изометрией), а основное свойство любого движения — сохранение расстояния между точками. Докажем это свойство для параллельного переноса.

Пусть параллельный перенос задан вектором $\vec{p}$. Пусть $M$ и $N$ — две произвольные точки на плоскости, а точки $M'$ и $N'$ — их образы при данном параллельном переносе. По определению параллельного переноса, $\vec{MM'} = \vec{p}$ и $\vec{NN'} = \vec{p}$.

Рассмотрим векторы, определяющие отрезки $MN$ и $M'N'$. Используя правило сложения векторов (правило многоугольника), мы можем выразить вектор $\vec{M'N'}$: $\vec{M'N'} = \vec{M'M} + \vec{MN} + \vec{NN'}$.

Поскольку $\vec{MM'} = \vec{p}$, то $\vec{M'M} = -\vec{p}$. Подставим известные нам векторы в равенство: $\vec{M'N'} = -\vec{p} + \vec{MN} + \vec{p}$.

Упростив выражение, получаем: $\vec{M'N'} = \vec{MN}$.

Равенство векторов означает, что их длины (модули) равны: $|\vec{M'N'}| = |\vec{MN}|$. Длина вектора, соединяющего две точки, — это и есть расстояние между этими точками. Следовательно, расстояние $M'N'$ равно расстоянию $MN$. Мы доказали, что параллельный перенос сохраняет расстояние между любыми двумя точками.

Теперь применим этот результат к треугольнику. Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. В результате параллельного переноса его вершины $A, B, C$ переходят в точки $A', B', C'$, образуя треугольник $\triangle A'B'C'$.

Поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния, длины сторон треугольника $\triangle ABC$ будут равны соответствующим длинам сторон треугольника $\triangle A'B'C'$:

• Длина стороны $AB$ равна длине стороны $A'B'$ (так как расстояние между $A$ и $B$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$).
• Длина стороны $BC$ равна длине стороны $B'C'$.
• Длина стороны $AC$ равна длине стороны $A'C'$.

Таким образом, мы имеем $AB = A'B'$, $BC = B'C'$, и $AC = A'C'$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельный перенос является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Это означает, что стороны любого треугольника при параллельном переносе переходят в равные им отрезки. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник, полученный в результате параллельного переноса, равен исходному треугольнику.