Номер 13, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что параллельный перенос переводит:

а) параллелограмм в параллелограмм;

б) прямоугольник в прямоугольник;

в) ромб в ромб;

г) квадрат в квадрат.

Основным свойством параллельного переноса, которое будет использоваться в доказательстве, является то, что это движение (изометрия). Это означает, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками и, как следствие, сохраняет длины отрезков и величины углов.

а) Пусть $ABCD$ — параллелограмм. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. При параллельном переносе вершины $A, B, C, D$ переходят в точки $A', B', C', D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ является образом исходного параллелограмма. Так как параллельный перенос сохраняет расстояния, длины сторон четырехугольника $A'B'C'D'$ равны длинам соответствующих сторон параллелограмма $ABCD$: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = AD$. Из этого следует, что у четырехугольника $A'B'C'D'$ противолежащие стороны попарно равны: $A'B' = C'D'$ и $B'C' = D'A'$. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом. Следовательно, $A'B'C'D'$ — параллелограмм. Ответ: Параллельный перенос переводит параллелограмм в параллелограмм.

б) Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$). Пусть $ABCD$ — прямоугольник. Из доказательства в пункте а) следует, что его образ, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом. Параллельный перенос сохраняет величины углов. Поскольку все углы прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$, то и все углы параллелограмма $A'B'C'D'$ будут равны $90^\circ$. Например, $\angle A'B'C' = \angle ABC = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, $A'B'C'D'$ — прямоугольник. Ответ: Параллельный перенос переводит прямоугольник в прямоугольник.

в) Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть $ABCD$ — ромб. Тогда $AB = BC = CD = DA$. Из доказательства в пункте а) следует, что образ ромба, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом. Параллельный перенос сохраняет расстояния, поэтому длины сторон сохраняются: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = DA$. Так как все стороны исходного ромба были равны, то и все стороны образа $A'B'C'D'$ равны между собой: $A'B' = B'C' = C'D' = D'A'$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $A'B'C'D'$ — ромб. Ответ: Параллельный перенос переводит ромб в ромб.

г) Квадрат — это фигура, которая является одновременно и прямоугольником (все углы прямые), и ромбом (все стороны равны). Пусть $ABCD$ — квадрат. Из пункта б), так как квадрат является прямоугольником, его образ $A'B'C'D'$ при параллельном переносе будет прямоугольником. Это значит, что $A'B'C'D'$ — параллелограмм с прямыми углами. Из пункта в), так как квадрат является ромбом, его образ $A'B'C'D'$ будет ромбом. Это значит, что у параллелограмма $A'B'C'D'$ все стороны равны. Таким образом, фигура $A'B'C'D'$ является одновременно прямоугольником и ромбом, что по определению означает, что $A'B'C'D'$ — квадрат. Ответ: Параллельный перенос переводит квадрат в квадрат.