Номер 18, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Напишите уравнение окружности, полученной из окружности, заданной уравнением $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$, параллельным переносом на вектор:

а) $\vec{a}(-1; 0)$;

б) $\vec{a}(1; -2).

Сначала найдем центр и радиус исходной окружности. Для этого приведем ее уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ к каноническому виду $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ – координаты центра, а $r$ – радиус.Выделим полный квадрат для членов, содержащих $x$:$x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$$(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 - 3 = 0$$(x + 1)^2 + y^2 - 4 = 0$$(x + 1)^2 + y^2 = 4$Таким образом, исходная окружность имеет центр в точке $C_0(-1; 0)$ и радиус $r = \sqrt{4} = 2$.При параллельном переносе радиус окружности не изменяется, а смещается только ее центр. Координаты нового центра $(x', y')$ находятся путем сложения координат исходного центра $(x_0, y_0)$ и соответствующих координат вектора переноса $(a_x, a_y)$.

а) Перенос на вектор $\vec{a}(-1; 0)$.Найдем координаты нового центра $C_a(x_a; y_a)$, прибавив к координатам центра $C_0(-1; 0)$ координаты вектора $\vec{a}(-1; 0)$:$x_a = -1 + (-1) = -2$$y_a = 0 + 0 = 0$Новый центр находится в точке $C_a(-2; 0)$. Радиус остается равным $r=2$.Уравнение новой окружности:$(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$$(x + 2)^2 + y^2 = 4$
Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 4$.

б) Перенос на вектор $\vec{a}(1; -2)$.Найдем координаты нового центра $C_б(x_б; y_б)$, прибавив к координатам центра $C_0(-1; 0)$ координаты вектора $\vec{a}(1; -2)$:$x_б = -1 + 1 = 0$$y_б = 0 + (-2) = -2$Новый центр находится в точке $C_б(0; -2)$. Радиус остается равным $r=2$.Уравнение новой окружности:$(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$$x^2 + (y + 2)^2 = 4$
Ответ: $x^2 + (y + 2)^2 = 4$.