Номер 23, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Нарисуйте какую-нибудь прямую $c$ и какой-нибудь отрезок $AB$. Изобразите точки $A'$ и $B'$ так, чтобы прямая $c$ была серединным перпендикуляром к отрезкам $AA'$ и $BB'$. Что можно сказать об отрезке $A'B'$?

Нарисуйте какую-нибудь прямую c и какой-нибудь отрезок AB.

На плоскости произвольным образом начертим прямую, обозначив ее c. Также начертим отрезок, концы которого обозначим A и B. Взаимное расположение прямой и отрезка может быть любым: отрезок может пересекать прямую, быть параллельным ей или находиться в общем положении.

Изобразите точки A' и B' так, чтобы прямая c была серединным перпендикуляром к отрезкам AA' и BB'.

Данное условие означает, что точки A' и B' должны быть симметричны точкам A и B относительно прямой c. Построение выполняется в несколько шагов. Сначала для точки A: через нее проводится прямая, перпендикулярная прямой c. Пусть $H_A$ – точка их пересечения. На этой перпендикулярной прямой откладывается точка A' по другую сторону от прямой c так, что $AH_A = A'H_A$. Затем аналогичные действия выполняются для точки B: через нее проводится перпендикуляр к прямой c (пусть точка пересечения будет $H_B$), и на нем находится точка B' так, что $BH_B = B'H_B$. Таким образом, прямая c по построению является серединным перпендикуляром для отрезков AA' и BB'.

Что можно сказать об отрезке A'B'?

Преобразование, которое отображает точку в симметричную ей относительно прямой, называется осевой симметрией. Отрезок A'B' является образом отрезка AB при осевой симметрии относительно прямой c. Основное свойство осевой симметрии заключается в том, что она является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками. Из этого следует главный вывод: длина отрезка A'B' равна длине отрезка AB. Математически это записывается как $AB = A'B'$.

Кроме равенства длин, можно отметить и другие свойства, зависящие от взаимного расположения отрезка AB и прямой c:

1. Если отрезок AB пересекает прямую c в некоторой точке P, то и отрезок A'B' будет проходить через ту же точку P.

2. Если отрезок AB параллелен прямой c, то и отрезок A'B' будет параллелен ему (и прямой c). В этом случае четырехугольник ABB'A' является прямоугольником.

3. Если отрезок AB перпендикулярен прямой c, то все четыре точки A, B, A', B' лежат на одной прямой.

Ответ: Длина отрезка A'B' равна длине отрезка AB (то есть, $A'B' = AB$). Отрезок A'B' является симметричным отражением отрезка AB относительно прямой c.