Номер 5, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Изобразите точку, симметричную точке $A$ относительно прямой $c$ (рис. 9.4).

а)

б)

в)

Рис. 9.4

Для построения точки A', симметричной точке A относительно прямой c (оси симметрии), необходимо выполнить следующие действия для каждого случая:

1. Из точки A провести прямую, перпендикулярную прямой c.
2. Измерить расстояние от точки A до точки пересечения перпендикуляра с прямой c (назовем ее H).
3. На перпендикуляре отложить от точки H отрезок HA', равный по длине отрезку AH, по другую сторону от прямой c.

Точка A' и будет искомой точкой.

а)

Прямая c на рисунке а) является вертикальной. Прямая, перпендикулярная вертикальной прямой, является горизонтальной.

1. Проведем из точки A горизонтальную линию до пересечения с прямой c.
2. Расстояние от точки A до прямой c, измеренное по клеткам, равно 2.
3. Отложим от прямой c по этой же горизонтальной линии вправо расстояние, равное 2 клеткам. Получим искомую точку A'.

Ответ: Симметричная точка A' находится на той же горизонтальной линии, что и точка A, но на расстоянии 2 клеток справа от прямой c.

б)

Прямая c на рисунке б) проходит по диагоналям клеток под углом 135° к горизонтальной оси. Ее угловой коэффициент $k_c = -1$. Прямая, перпендикулярная ей, будет проходить по другим диагоналям клеток, ее угловой коэффициент $k_{\perp} = 1$.

1. Проведем из точки A прямую, перпендикулярную прямой c. Эта прямая будет идти по диагоналям клеток (вверх и вправо).
2. Расстояние от точки A до прямой c вдоль этого перпендикуляра равно 1.5 диагонали клетки.
3. Отложим от прямой c вдоль перпендикуляра в том же направлении (вверх и вправо) расстояние, равное 1.5 диагонали клетки. Получим искомую точку A'.

Ответ: Симметричная точка A' находится на перпендикуляре к прямой с, проведенном из точки А, на таком же расстоянии от прямой с. Если принять левый нижний угол сетки за точку (0,0), то точка А имеет координаты (1,1), а симметричная ей точка A' будет иметь координаты (3,3).

в)

Прямая c на рисунке в) имеет наклон. Чтобы определить его, найдем две точки на пересечении линий сетки, через которые она проходит. Например, прямая проходит через точки, смещенные друг от друга на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз. Ее угловой коэффициент $k_c = -2$.

1. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен $k_{\perp} = -1/k_c = -1/(-2) = 1/2$. Это означает, что перпендикулярная прямая смещается на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх (или 2 клетки влево и 1 клетку вниз).
2. Проведем через точку A прямую с таким наклоном — это и будет перпендикуляр к прямой c.
3. Найдем точку пересечения H этого перпендикуляра с прямой c.
4. Продолжим перпендикуляр за точку H и отложим отрезок HA', равный по длине отрезку AH. Точка A' будет симметрична точке A.

Ответ: Для построения симметричной точки A' необходимо провести из точки A перпендикуляр к прямой c (его направление — 2 клетки влево и 1 клетка вниз) и отложить на его продолжении за прямой c отрезок, равный расстоянию от A до c.