Номер 11, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Сколько осей симметрии имеет прямая?

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Чтобы определить, сколько осей симметрии имеет прямая, рассмотрим все возможные варианты расположения предполагаемой оси симметрии относительно данной прямой. Пусть данная прямая называется $l$.

Существует два типа осей симметрии для прямой:

1. Сама прямая $l$.Если в качестве оси симметрии взять саму прямую $l$, то при отражении каждая ее точка перейдет сама в себя, так как расстояние от любой точки на прямой до самой прямой равно нулю. Следовательно, вся прямая $l$ отображается на себя, а значит, она является своей осью симметрии. Это одна ось симметрии.

2. Любая прямая, перпендикулярная прямой $l$.Рассмотрим любую прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$. Пусть они пересекаются в точке $A$. Возьмем произвольную точку $B$ на прямой $l$. При симметричном отражении относительно прямой $m$, точка $B$ перейдет в точку $B'$, которая также будет лежать на прямой $l$ на таком же расстоянии от точки $A$, что и точка $B$, но по другую сторону от нее. Это справедливо для любой точки прямой $l$, поэтому вся прямая $l$ при отражении относительно любой перпендикулярной ей прямой $m$ переходит сама в себя. Через каждую точку прямой $l$ можно провести единственную перпендикулярную ей прямую. Поскольку на прямой $l$ находится бесконечное множество точек, то существует и бесконечное множество прямых, перпендикулярных $l$. Каждая из них является осью симметрии для прямой $l$.

Других осей симметрии у прямой нет. Если предполагаемая ось симметрии пересекает прямую $l$ не под прямым углом, то отраженная прямая не совпадет с исходной.

Таким образом, у прямой есть одна ось симметрии, которая с ней совпадает, и бесконечное множество осей симметрии, которые ей перпендикулярны. В совокупности это составляет бесконечное множество осей.

Ответ: прямая имеет бесконечное множество осей симметрии.