Номер 1, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Для правильного шестиугольника ABCDEF (рис. 4.3) найдите такое число t, для которого:

а) $\overline{AD} = t \cdot \overline{BC}$;

б) $\overline{CF} = t \cdot \overline{AB}$;

в) $\overline{DE} = t \cdot \overline{CF}$;

г) $\overline{BE} = t \cdot \overline{DC}$.

Рис. 4.3

Для решения задачи введем два базисных вектора: $\vec{a} = \overline{AB}$ и $\vec{b} = \overline{BC}$. Выразим все необходимые векторы через этот базис, используя свойства правильного шестиугольника $ABCDEF$.

1. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине, а их векторы направлены в противоположные стороны:

• $\overline{DE} = -\overline{AB} = -\vec{a}$
• $\overline{EF} = -\overline{BC} = -\vec{b}$
• $\overline{FA} = -\overline{CD}$

2. Большая диагональ, соединяющая противоположные вершины, параллельна сторонам, с которыми она не имеет общих вершин, и вдвое длиннее их. Например, диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Векторы $\overline{AD}$ и $\overline{BC}$ сонаправлены, поэтому $\overline{AD} = 2\overline{BC} = 2\vec{b}$.

3. Используя правило сложения векторов (правило многоугольника), мы можем найти остальные векторы:

• Вектор $\overline{CD}$: из $\overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD}$ следует $2\vec{b} = \vec{a} + \vec{b} + \overline{CD}$, откуда $\overline{CD} = \vec{b} - \vec{a}$.
• Вектор $\overline{DC} = -\overline{CD} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
• Вектор диагонали $\overline{CF}$: $\overline{CF} = \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EF} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -2\vec{a}$.
• Вектор диагонали $\overline{BE}$: $\overline{BE} = \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} = \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = 2\vec{b} - 2\vec{a}$.

Теперь решим каждую из задач.

а) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{AD} = t \cdot \overline{BC}$.
Подставим векторные выражения, которые мы нашли:
$2\vec{b} = t \cdot \vec{b}$
Из этого равенства следует, что $t = 2$.
Ответ: $t = 2$.

б) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{CF} = t \cdot \overline{AB}$.
Подставим векторные выражения:
$-2\vec{a} = t \cdot \vec{a}$
Из этого равенства следует, что $t = -2$.
Ответ: $t = -2$.

в) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{DE} = t \cdot \overline{CF}$.
Подставим векторные выражения:
$-\vec{a} = t \cdot (-2\vec{a})$
Разделив обе части на $-\vec{a}$ (так как $\vec{a}$ — ненулевой вектор), получаем:
$1 = t \cdot 2$
Отсюда $t = \frac{1}{2}$.
Ответ: $t = \frac{1}{2}$.

г) Найдем такое число $t$, для которого $\overline{BE} = t \cdot \overline{DC}$.
Подставим векторные выражения:
$2\vec{b} - 2\vec{a} = t \cdot (\vec{a} - \vec{b})$
Вынесем общий множитель в левой части:
$-2(\vec{a} - \vec{b}) = t \cdot (\vec{a} - \vec{b})$
Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, их разность $\vec{a} - \vec{b}$ не является нулевым вектором. Мы можем разделить обе части равенства на $(\vec{a} - \vec{b})$.
Получаем $t = -2$.
Ответ: $t = -2$.