Номер 15, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Докажите, что выполняется равенство $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$.

Для доказательства равенства $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$ необходимо показать, что левая часть тождественно равна правой. Для этого мы последовательно преобразуем левую часть, используя основные свойства операций над векторами.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}$.

2. Воспользуемся определением разности векторов. Разность двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ определяется как сумма вектора $\vec{x}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{y}$, то есть $\vec{x} - \vec{y} = \vec{x} + (-\vec{y})$. Применим это определение к нашему выражению дважды:

$(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = (\vec{a} + (-\vec{b})) + (-\vec{c})$

3. Сложение векторов ассоциативно (обладает сочетательным свойством), что означает $(\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z})$ для любых векторов $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$. Применим это свойство, чтобы перегруппировать слагаемые:

$(\vec{a} + (-\vec{b})) + (-\vec{c}) = \vec{a} + ((-\vec{b}) + (-\vec{c}))$

4. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $(-\vec{b}) + (-\vec{c})$. Сумма векторов, противоположных $\vec{b}$ и $\vec{c}$, равна вектору, противоположному их сумме. То есть, $(-\vec{b}) + (-\vec{c}) = -(\vec{b} + \vec{c})$. Подставим это обратно в наше выражение:

$\vec{a} + ((-\vec{b}) + (-\vec{c})) = \vec{a} + (-(\vec{b} + \vec{c}))$

5. Наконец, снова применим определение разности векторов $\vec{x} + (-\vec{y}) = \vec{x} - \vec{y}$ к полученному выражению:

$\vec{a} + (-(\vec{b} + \vec{c})) = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства к его правой части. Это доказывает, что равенство $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})$ верно для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Ответ: Равенство доказано.