Номер 11, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В трапеции ABCD отрезок EF — средняя линия (рис. 3.8). Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Рис. 3.8

Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, точки E и F являются серединами боковых сторон AD и BC соответственно. Чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы оснований $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника).

Представим вектор $\vec{EF}$ как сумму векторов, составляющих ломаную линию, соединяющую точки E и F. Это можно сделать двумя способами, двигаясь по контуру трапеции.

1. Путь через вершины D и C:
$\vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF}$

2. Путь через вершины A и B:
$\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF}$

Сложим эти два равенства:
$\vec{EF} + \vec{EF} = (\vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF}) + (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF})$

Сгруппируем слагаемые:
$2\vec{EF} = (\vec{EA} + \vec{ED}) + (\vec{BF} + \vec{CF}) + \vec{AB} + \vec{DC}$

Теперь рассмотрим суммы векторов в скобках.

Так как точка E является серединой отрезка AD, то векторы $\vec{EA}$ и $\vec{ED}$ равны по длине и противоположны по направлению. Это означает, что их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{EA} = -\vec{ED} \implies \vec{EA} + \vec{ED} = \vec{0}$

Аналогично, так как точка F является серединой отрезка BC, то векторы $\vec{BF}$ и $\vec{FC}$ равны ($\vec{BF} = \vec{FC}$). Вектор $\vec{CF}$ противоположен вектору $\vec{FC}$. Следовательно, $\vec{CF} = -\vec{FC} = -\vec{BF}$. Тогда их сумма также равна нулевому вектору:
$\vec{BF} + \vec{CF} = \vec{BF} + (-\vec{BF}) = \vec{0}$

Подставим полученные результаты в сгруппированное уравнение:
$2\vec{EF} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{AB} + \vec{DC}$

$2\vec{EF} = \vec{AB} + \vec{DC}$

Разделив обе части на 2, получим искомое выражение для вектора $\vec{EF}$:
$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC})$

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC})$