Номер 12, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для любой точки X выполняется равенство $\overline{XA} + \overline{XC} = \overline{XB} + \overline{XD}$.

Для доказательства равенства $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ преобразуем его, используя правила действий с векторами.

Перенесем векторы из правой части равенства в левую:

$\vec{XA} + \vec{XC} - \vec{XB} - \vec{XD} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(\vec{XA} - \vec{XB}) + (\vec{XC} - \vec{XD}) = \vec{0}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов, согласно которому разность векторов с общим началом равна вектору, соединяющему их концы в направлении от вычитаемого к уменьшаемому. То есть, $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$. Применительно к нашим парам векторов с общим началом в точке $X$:

$\vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA}$

$\vec{XC} - \vec{XD} = \vec{DC}$

Подставим полученные выражения обратно в наше уравнение:

$\vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0}$

Теперь необходимо показать, что это равенство справедливо для любого параллелограмма $ABCD$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Если вершины $A, B, C, D$ перечислены последовательно, то вектор, идущий из $A$ в $B$, равен вектору, идущему из $D$ в $C$. Запишем это в виде векторного равенства:

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Подставим это в предыдущее равенство:

$-\vec{BA} = \vec{DC}$

Перенеся $\vec{DC}$ в левую часть, получим:

$-\vec{BA} - \vec{DC} = \vec{0}$, что эквивалентно $\vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0}$.

Мы пришли к тому же равенству, которое получили из исходного. Поскольку все преобразования были равносильными, а равенство $\vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0}$ является свойством любого параллелограмма $ABCD$, то исходное утверждение $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$ также верно для любой точки $X$.

Ответ: Равенство доказано.